Để giải bài toán, ta lần lượt thực hiện các phần a, b và c như đã đề bài.

### a) Giải phương trình (1) khi m = 1:

Khi \( m = 1 \), phương trình (1) trở thành:

\[
x^2 - 2(1 + 1)x + 2 \cdot 1 = 0
\]

Giải phương trình, ta có:

\[
x^2 - 4x + 2 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 1, b = -4, c = 2 \):

\[
b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8
\]

Vì \( 8 > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tính các nghiệm:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}
\]

Vậy nghiệm của phương trình khi \( m = 1 \) là:

\[
x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2}
\]

### b) Chứng minh (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m:

Để chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta tính discriminant \( D \) của phương trình:

\[
D = b^2 - 4ac = (-2(m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2m
\]

Tính \( D \):

\[
D = 4(m + 1)^2 - 8m
\]
\[
= 4(m^2 + 2m + 1 - 2m) = 4(m^2 + 1) = 4m^2 + 4
\]

Vì \( 4m^2 + 4 > 0 \) với mọi \( m \), ta suy ra \( D > 0 \).

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt cho mọi giá trị của \( m \).

### c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là \( x_1, x_2 \). Tìm giá trị của \( m \) để \( x_2 \) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \( \sqrt{12} \):

Theo định lý Pythagore:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (\sqrt{12})^2 = 12
\]

Từ công thức tổng và tích của nghiệm:

\[
x_1 + x_2 = 2(m + 1)
\]
\[
x_1 x_2 = 2m
\]

Công thức \( x_1^2 + x_2^2 \) có thể được viết như sau:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (2(m + 1))^2 - 2(2m)
\]

Thay vào:

\[
(2(m + 1))^2 - 4m = 12
\]

Giải phương trình:

\[
4(m^2 + 2m + 1) - 4m = 12
\]
\[
4m^2 + 8m + 4 - 4m - 12 = 0
\]
\[
4m^2 + 4m - 8 = 0
\]
\[
m^2 + m - 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:

\[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\]

Nghiệm:

\[
m = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow m_1 = 1, \quad m_2 = -2
\]

Vậy giá trị \( m \) để \( x_2 \) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \( \sqrt{12} \) là \( m = 1 \) hoặc \( m = -2 \).