Cho (O; R) và dây cung EF, Đường thẳng qua E vuông góc với OE cắt đường qua F vuông OF tại M. Đường thẳng qua M cắt (O) tại H và K. Gọi I là trung điểm HK. Chứng minh M; E; O; I; F thuộc 1 đường tròn 

Để chứng minh rằng các điểm \(M\), \(E\), \(O\), \(I\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng một vài tính chất về đường tròn và góc.

1. **Sử dụng góc vuông**: Ta có đường thẳng qua \(E\) vuông góc với \(OE\) và cắt đường thẳng qua \(F\) vuông góc với \(OF\) tại \(M\). Điều này cho thấy \(ME\) vuông góc với \(OE\) và \(MF\) vuông góc với \(OF\).

2. **Xét góc \(\angle EOF\)**: Tại điểm \(O\), \(\angle EOF\) là góc tạo bởi hai bán kính \(OE\) và \(OF\).

3. **Sử dụng tính chất của điểm trung bình**: Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HK\). Theo định nghĩa trung điểm, ta có \(HI = IK\). Khi \(M\) nằm trên \(OM\) thì từ tính đối xứng về điểm \(O\), ta có \(OM\) sẽ cắt đường tròn tại hai điểm \(H\) và \(K\).

4. **Tính chất điểm cùng nằm trên một đường tròn**: Để chứng minh rằng \(M\), \(E\), \(O\), \(I\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh rằng các thiên tuyến \(IE\), \(IF\) và \(OM\) cùng cắt nhau tại một điểm và tạo ra hai góc \(IEO\) và \(IFO\) bằng nhau do cùng cắt \(OF\) và \(OE\).

5. **Kết luận**: Vì \(M\) nằm trên \(OM\), còn hai góc \(IEO\) và \(IFO\) bằng nhau, ta có thể kết luận rằng năm điểm \(M\), \(E\), \(O\), \(I\), \(F\) nằm trên cùng một đường tròn (theo định lý tổng các góc trong một tam giác và tính chất đối xứng).

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh rằng các điểm \(M\), \(E\), \(O\), \(I\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.