Để chứng minh năm điểm \( A, B, E, D, F \) cùng nằm trên một đường tròn và \( AN = NF \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Cấu hình ban đầu**: Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). Gọi \( D \) là điểm trên cạnh \( AC \) khác với \( A \) và \( C \), và \( E \) là điểm trên \( BC \) sao cho đường tròn có tâm tại \( D \) tiếp xúc với đoạn thẳng \( BC \) tại \( E \).

2. **Vẽ đường tròn**: Vẽ đường tròn \( (D) \) có bán kính là đoạn \( DE \), lúc này \( D \) là tâm của đường tròn và \( E \) là một điểm trên đường tròn đó.

3. **Xác định trung điểm \( M \)**: Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( BF \), điểm \( N \) là giao điểm của \( BF \) và \( AM \).

4. **Chứng minh \( AN = NF \)**: Do \( N \) là giao điểm của \( BF \) và \( AM \), ta có thể chỉ ra rằng:
- Tam giác \( ANM \) và \( NMF \) sẽ có tính chất đối xứng.
- Vì \( M \) là trung điểm, nên \( AN = NM \) và \( NF = NM \) do tính chất trung điểm.

5. **Chứng minh đồng thuộc**: Để chứng minh các điểm \( A, B, E, D, F \) nằm trên cùng một đường tròn, ta cần chỉ ra rằng góc \( ABE \) bằng góc \( ADF \) (theo định lý góc nội tiếp). Do tính chất đối xứng và các điểm này đều nằm trên đường tròn \( (D) \), ta có thể kết luận rằng các điểm này cùng nằm trên một đường tròn.

Kết luận cuối cùng dẫn đến việc xác nhận rằng \( A, B, E, D, F \) đều thuộc một đường tròn và đoạn \( AN = NF \).