Chúng ta sẽ giải bài toán từ các phần a) đến c):

**a)** Chứng minh \( BD = CE \)

Cho tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \) (tam giác cân). Gọi \( D \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( BD \) là phân giác của góc \( ABC \) và \( E \) là điểm trên \( AB \) sao cho \( CE \) là phân giác của góc \( ACB \).

Vì \( BD \) và \( CE \) đều là phân giác của các góc tại đỉnh của tam giác cân \( ABC \), theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}, \quad \text{ và } \quad \frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}
\]

Vì \( AB = AC \), suy ra \( \frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB} \).

Ký hiệu \( AD = x \), \( DC = y \), \( AE = z \), và \( EB = w \). Ta có:

\[
\frac{x}{y} = \frac{z}{w} \quad \text{với } x + y = AC \quad \text{và } z + w = AB.
\]

Kết hợp các tỷ lệ trên, ta có thể suy ra rằng \( D \) và \( E \) là những điểm đối xứng qua trục phân giác \( A \), điều đó dẫn đến \( BD = CE \).

Vì vậy, đã chứng minh được rằng \( BD = CE \).

---

**b)** Xác định dạng của tam giác \( ADE \)

Trong tam giác \( ABC \) đã cho, vì \( BD = CE \) và \( AB = AC \), nên điểm \( D \) và \( E \) sẽ tạo thành một tam giác \( ADE \) có hai cạnh bằng nhau với cạnh đáy \( DE \) (do \( D, E \) nằm trên \( AC \) và \( AB \)), tức là:

Tam giác \( ADE \) là tam giác cân với \( AD = AE \).

---

**c)** Chứng minh \( DE \parallel BC \)

Để chứng minh \( DE \parallel BC \), ta sử dụng tính chất của các phân giác.

Trong tam giác \( ABC \), hai phân giác \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại một điểm \( O \) nằm trong tam giác. Vì \( ABC \) là tam giác cân, nên các góc \( ABD \) và \( ABE \) bằng nhau. Tương tự, các góc \( ACD \) và \( ACE \) cũng bằng nhau.

Khi đó:

- Ta có góc \( ADB = AEC \) (do \( D \) và \( E \) nằm trên \( AC \) và \( AB \)).
- Ta có góc \( ABE = ACD \).

Từ đó, theo tính chất của hai đường thẳng song song (vì có các góc đồng vị bằng nhau), suy ra \( DE \parallel BC \).

Do đó, đã chứng minh được \( DE \parallel BC \).

**Kết luận:** Chúng ta đã hoàn thành các phần(a), (b), (c) của bài toán.