Để giải bất phương trình sau:

\[
\frac{x + 3}{4} + 1 < x + \frac{x + 2}{3}
\]

Bước 1: Đưa các phần về cùng một phía:

\[
\frac{x + 3}{4} + 1 - x - \frac{x + 2}{3} < 0
\]

Bước 2: Quy đồng các phân số. Ta có mẫu số chung là 12.

Chuyển đổi các phần tử:

\[
\frac{x + 3}{4} = \frac{3(x + 3)}{12} = \frac{3x + 9}{12}
\]

\[
1 = \frac{12}{12}
\]

\[
x = \frac{12x}{12}
\]

\[
\frac{x + 2}{3} = \frac{4(x + 2)}{12} = \frac{4x + 8}{12}
\]

Thay vào bất phương trình:

\[
\frac{3x + 9}{12} + \frac{12}{12} - \frac{12x}{12} - \frac{4x + 8}{12} < 0
\]

Bước 3: Gộp các tử số lại:

\[
\frac{3x + 9 + 12 - 12x - 4x - 8}{12} < 0
\]

\[
\frac{3x + 1 - 12x - 8}{12} < 0
\]

\[
\frac{-9x + 1}{12} < 0
\]

Bước 4: Nhân cả hai phía với 12 (vì 12 > 0, không thay đổi dấu bất phương trình):

\[
-9x + 1 < 0
\]

Bước 5: Giải bất phương trình:

\[
-9x < -1
\]

\[
x > \frac{1}{9}
\]

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:

\[
x > \frac{1}{9}
\]