Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu.

**a)** Chứng minh \( a \parallel b \):

Ta có \( \angle CAB = 70^\circ \) và \( \angle ABD = 70^\circ \). Do \( d \perp a \) tại điểm \( C \), nên ta có \( \angle DCA = 90^\circ \).

Từ đó, ta có:
- \( \angle ACB + \angle CAB = 180^\circ \) (do hai góc trong cùng một phía)
- \( \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 90^\circ = 20^\circ \)

Lại có:
- \( \angle ABC + \angle ABD = 180^\circ \) (góc đối trạng)

Từ đó, ta có:
- \( \angle ABC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)

Vì \( \angle ABC \) và \( \angle ACB \) là các góc so le trong, nên ta có \( a \parallel b \).

**b)** Tính số đo của \( \angle CDB \):

Ta thấy rằng \( \angle CDB \) là góc ngoài của tam giác \( ACB \), vì vậy:
\[
\angle CDB = \angle CAB + \angle ACB = 70^\circ + 20^\circ = 90^\circ
\]

**c)** Tính số đo của \( \angle AOB \):

Tia \( Am \) tạo góc \( 30^\circ \) với tia \( d \). Vậy \( \angle ACB = 20^\circ \).
Vì \( Am \) và \( Bn \) là hai tia phân giác của \( \angle ABD \) với số đo là \( 70^\circ \), ta có:
\[
\angle AOB = 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ
\]

Tóm lại:
- \( a \parallel b \) đã chứng minh.
- \( \angle CDB = 90^\circ \).
- \( \angle AOB = 140^\circ \).