Tìm các số nguyên tố a, b, c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình a^2+b^2+16c^2 = 9k^2+1

Để giải phương trình \( a^2 + b^2 + 16c^2 = 9k^2 + 1 \) với các số nguyên tố \( a, b, c \) và số nguyên dương \( k \), ta có thể tiến hành tìm các giá trị phù hợp.

1. **Điều kiện về số nguyên tố**: Ta cần lưu ý rằng \( a, b, c \) là số nguyên tố, tức là các số lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

2. **Phân tích phương trình**: Phương trình cho thấy rằng tổng của các bình phương của các số nguyên tố và hình thức \( 16c^2 \) phải bằng một biểu thức liên quan đến \( k \).

3. **Kiểm tra với các giá trị nhỏ**: Bắt đầu bằng cách thử với các giá trị nhỏ cho các số nguyên tố \( a, b, c \) và số nguyên dương \( k \).

### Một ví dụ để thử nghiệm

- **Giả sử \( c = 2 \)** (một số nguyên tố nhỏ):
\[
16c^2 = 16 \times 2^2 = 64
\]
Do đó, phương trình trở thành:
\[
a^2 + b^2 + 64 = 9k^2 + 1
\]
hạ xuống:
\[
a^2 + b^2 = 9k^2 - 63
\]

- **Giả sử \( k = 3 \)**:
\[
9k^2 = 9 \times 3^2 = 81
\]
Thay vào phương trình trên:
\[
a^2 + b^2 = 81 - 63 = 18
\]

- Tìm các số nguyên tố \( a \) và \( b \) sao cho \( a^2 + b^2 = 18 \). Có các cặp:
- \( (3, 3) \) vì \( 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \).

**Kiểm tra giá trị**:
- \( a = 3, b = 3, c = 2, k = 3 \) =>

\[
a^2 + b^2 + 16c^2 = 3^2 + 3^2 + 16 \cdot 2^2 = 9 + 9 + 64 = 82
\]
\[
9k^2 + 1 = 9 \cdot 3^2 + 1 = 81 + 1 = 82
\]

Như vậy, một bộ số nghiệm là \( (3, 3, 2, 3) \).

Để tìm thêm nghiệm, bạn có thể kiểm tra các giá trị khác của \( a, b, c, k \).

Tóm lại, một bộ nghiệm phù hợp là:

- \( a = 3, b = 3, c = 2, k = 3 \)