Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### Bài 14:

**a)** Chứng minh \( OI \perp AB \).

- Gọi \( \theta \) là góc \( xOy \). Tia phân giác của góc \( xOy \) chia góc thành 2 góc bằng nhau, mỗi góc bằng \( \frac{\theta}{2} \).
- Do \( OA = OB \), \( A \) và \( B \) đặt trên 2 cạnh của góc. Suy ra \( I \) là điểm phân giác của đoạn \( AB \).
- Theo tính chất của tia phân giác, ta có \( OI \) vuông góc với \( AB \). Do đó, \( OI \perp AB \).

**b)** Gọi \( D \) là hình chiếu của điểm \( A \) trên \( Oy \), \( C \) là giao điểm của \( AD \) với \( OI \). Chứng minh \( BC \perp Ox \).

- Vì \( D \) là hình chiếu của \( A \) lên \( Oy \), nên \( AD \perp Oy \).
- Lại có \( OI \perp AB \), nên \( OI \perp AD \) (vì \( A \) nằm trên \( AB \)).
- Suy ra, góc \( AOD \) vuông. Do đó, tam giác \( AOD \) là tam giác vuông tại \( D \).
- Từ đó, suy ra \( BC \perp Ox \) (vì \( C \) và \( D \) nằm trên cùng 1 đường thẳng).

### Bài 15:

**a)** Chứng minh \( HB > HC \).

- Ta có tam giác vuông \( ABC \) với \( AB > AC \).
- Theo định lý về chiều cao trong tam giác vuông, chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \) (đường cao \( AH \)) phân chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn \( HB \) và \( HC \).
- Để phân tích, xét đường thẳng \( AH \):
- Nếu \( HB \) dài hơn \( HC \), điều đó có nghĩa rằng độ dài của \( AH \) lớn hơn khi chiều cao từ điểm cao nhất đến cạnh \( BC \) tạo ra trên đoạn lớn hơn, tức là \( AB > AC \), nên \( HB > HC \).

**b)** So sánh góc \( BAH \) và góc \( CAH \).

- Trong tam giác vuông \( ABC \), ta có hai đường cao \( AH \).
- Để so sánh hai góc, ta biết rằng góc nào đối diện với cạnh lớn hơn sẽ lớn hơn. Nên ta có:
- \( \angle BAH > \angle CAH \) vì \( AB > AC \).

**c)** Vẽ \( M, N \) sao cho \( AB, AC \) lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng \( HM, HN \). Chứng minh tam giác \( MAN \) là tam giác cân.

- Nếu \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), thì:
- \( MA = MB \) và \( NA = NC \).
- Từ tính chất tam giác, ta có:
- \( AN = AM \) và \( NH = NH \) (hình chiếu).
- Suy ra, tam giác \( MAN \) là tam giác cân tại \( A \).

Hy vọng phần giải thích trên giúp bạn hiểu và giải quyết các bài toán này. Nếu cần thêm sự trợ giúp, hãy cho tôi biết nhé!