Để chứng minh các đẳng thức trong các bài toán số học này, ta có thể thực hiện các bước sau:

### 1. Bài 13: Chứng minh \( n^3 - n \equiv 0 \, (\text{mod} \, 24) \) với \( n \) lẻ

#### Phân tích:
Ta có \( n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) \).

Với \( n \) là số lẻ, ba số \( n, n - 1, n + 1 \) là ba số liên tiếp, do đó, trong ba số này luôn có một số là bội số của 2 và một số khác là bội số của 3. Mặt khác, trong ba số này, có ít nhất một số là bội của 4 (vì 4 là bội số chẵn đầu tiên).

#### Kết luận:
Do đó, \( n(n - 1)(n + 1) \equiv 0 \, (\text{mod} \, 24) \).

### 2. Bài 14: Chứng minh \( n^4 - n^2 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 4) \) với \( n > 1 \)

#### Phân tích:
Ta có thể viết \( n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1) = n^2(n - 1)(n + 1) \).

Tương tự, trong ba số \( n - 1, n, n + 1 \), có ít nhất một số là bội của 2. Bởi vì \( n^2 \) luôn là số chẵn hoặc lẻ, nếu \( n \) là chẵn thì \( n^2 \) là chẵn. Nếu \( n \) là lẻ, thì \( n^2 \) vẫn là lẻ. Hệ quả là, sản phẩm của các yếu tố sẽ có ít nhất một bội của 2.

#### Kết luận:
Do đó, \( n^4 - n^2 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 4) \).

### Tóm lại
Cả hai đẳng thức đã được chứng minh.Tiếp tục áp dụng các nguyên lý tương tự cho những bài toán số học khác!