Để giải phương trình \( x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 = 0 \), chúng ta có thể thử nhiều phương pháp khác nhau. Đầu tiên, ta sẽ phân tích biểu thức này.

Nó có thể được sắp xếp lại như sau:

\[
x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 = (x^4 + x^3 + x^2) + (2x + 1)
\]

Tuy nhiên, phân tích không giúp ích nhiều trong trường hợp này. Thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị hoặc áp dụng định lý Viet để tìm nghiệm.

Chúng ta có thể chạy thử với một số giá trị của \( x \):

- Thử \( x = -1 \):

\[
(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 1 + 1 - 2 + 1 = 0
\]

Vậy \( x = -1 \) là một nghiệm của phương trình.

Bây giờ, chúng ta có thể phân chia đa thức \( x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 \) cho \( x + 1 \).

Sử dụng phép chia đa thức:

\[
x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^3 + 0x^2 + 1x + 1)
\]

Giờ đây, chúng ta cần giải phương trình bậc 3:

\[
x^3 + x + 1 = 0
\]

Để giải phương trình này, ta có thể thử nghiệm các giá trị như đã làm trước đó hoặc sử dụng phương pháp Newton-Raphson. Tuy nhiên, để đơn giản, ta thử nghiệm:

- Thử \( x = -1 \):

\[
(-1)^3 + (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 = -1 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \( x = 0 \):

\[
0^3 + 0 + 1 = 1 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

- Thử \( x = -0.5 \):

\[
(-0.5)^3 + (-0.5) + 1 = -0.125 - 0.5 + 1 = 0.375 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Và tiếp tục thử nghiệm với các giá trị khác hoặc dùng phương pháp đồ thị để tìm xem có nghiệm nào.

Ta có thể áp dụng định lý Cardano để tìm nghiệm cho phương trình bậc ba. Phương trình có hình thức:

\[
x^3 + x + 1 = 0
\]

Đây là phương trình không có nghiệm thực, và có 3 nghiệm phức:

\[
x = \sqrt[3]{-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}, \quad x = \sqrt[3]{-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}, \quad x = -1
\]

Tóm lại, nghiệm của phương trình \( x^4 + x^3 + x^2 + 2x + 1 = 0 \) là:

- \( x = -1 \) (nghiệm thực)
- 2 nghiệm phức còn lại từ phương trình \( x^3 + x + 1 = 0 \).