Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần yêu cầu.

**a)** Chứng minh tam giác \( OAB \) cân:

1. Trong hình thang cân \( ABCD \), ta có \( AB \parallel CD \) và \( AB < CD \). Do đó, góc \( \angle DAB = \angle ABC \) (góc so le trong).

2. Kéo dài cạnh \( AD \) cắt \( BC \) tại \( O \). Do \( AB \parallel CD \), ta có \( \angle OAB = \angle ODB \) (góc so le trong).

3. Từ đó, ta có \( \angle OAB = \angle ODB \) và \( \angle DAB = \angle ABC \).

4. Kết hợp với nhau, ta có \( \triangle OAB \) có hai cặp góc bằng nhau, do đó \( \triangle OAB \) là tam giác cân.

**b)** Chứng minh \( I, J, O \) thẳng hàng:

1. Gọi \( I \) và \( J \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) tương ứng.

2. Vì \( I \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AI = IB \). Tương tự, vì \( J \) là trung điểm của \( CD \), nên \( CJ = JD \).

3. Khi ta kẻ đường thẳng \( JO \) nối giữa \( J \) và \( O \), ta nhận thấy rằng \( I \) và \( J \) đều nằm trên đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng \( AB \).

4. Do đó, điểm \( O \) cũng nằm trên đường thẳng phân giác của góc \( AOD \) và do tính chất hình thang cân, ta có thể kết luận rằng \( I, J, O \) thẳng hàng.

**c)** Chứng minh \( MNAB, MNDC \) là hình thang cân:

1. Gọi \( M \) là một điểm thuộc \( AC \), và từ \( M \) vẽ đường thẳng song song với \( CD \) cắt \( BD \) tại \( N \).

2. Vì \( MN \parallel CD \) và \( CD \) cũng song song với \( AB \), ta có các cặp góc \( \angle ANM = \angle ABC \) (góc so le trong) và \( \angle NMB = \angle DAB \).

3. Do đó, hai đường thẳng \( AB \) và \( MN \) tạo với đoạn thẳng \( MN \) một góc bằng với \( CD \) và do đó sẽ là hình thang cân.

4. Từ đó, ta có hai cặp cạnh song song và cùng dài, kết luận rằng \( MNAB \) và \( MNDC \) đều là hình thang cân.

Vậy tất cả các yêu cầu trong bài toán đều đã được chứng minh xong.