Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học tam giác vuông, tia phân giác, và hình chiếu vuông góc.

### a) Chứng minh tam giác \(ABD\) bằng tam giác \(EBD\)

1. **Tính chất của tia phân giác**:
Do \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\), nên ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. **Góc chung**:
Ta có góc \(ABD\) chung giữa hai tam giác \(ABD\) và \(EBD\).

3. **Góc vuông**:
Trong tam giác \(ABC\), góc \(ABC\) vuông tại \(A\), do đó góc \(EBD\) vuông (vì \(DE \perp BC\)).

Hơn nữa, góc \(ABD\) cũng là góc trong tam giác \(ABD\).

Từ đó, ta có:
- Góc \(ABD\) = góc \(EBD\) (góc chung)
- Góc \(BAD\) = góc \(BDE\) (bởi \(DE\) là đường cao từ \(E\) xuống \(BC\))

Do đó, theo định lý tam giác đồng dạng (góc - cạnh - góc), ta có:
\[
\triangle ABD \sim \triangle EBD
\]

### b) Chứng minh \(AB = BE\)

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng là bằng nhau. Cụ thể ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{BE}{BD}
\]
Theo định nghĩa tam giác đồng dạng, từ đây và biết rằng \(AB\) và \(BE\) có cạnh tương ứng, do đó, một trong các cạnh của hai tam giác đồng dạng sẽ tỉ lệ với nhau.

Tiếp tục, do \(E\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên đường thẳng \(BC\) và \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\), theo tính chất của hình chiếu vuông góc và tam giác vuông, cho thấy rằng điểm \(E\) chia BC theo tỉ lệ như nhau.

Tóm lại, chúng ta có thể viết:
\[
AB = BE
\]

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \(AB = BE\).