Cho tam giác ABC. Tia phân giác của B và C cắt nhau ở I. Từ I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở D và AC ở E

Để chứng minh các tỉ số độ dài trong tam giác ABC với các điểm D và E như đã nêu, ta sẽ thực hiện theo hướng sau:

### a) Chứng minh \( \frac{DB}{DI} = \frac{AB}{AI} \)

1. **Sử dụng định nghĩa tia phân giác**: Tia phân giác BI chia cạnh AC thành hai đoạn tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DI}
\]
Vì D nằm trên AB và I là điểm trên BI.

2. **Kết luận**: Khi áp dụng tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{DB}{DI} = \frac{AB}{AI}
\]

### b) Chứng minh \( EI = EC \)

1. **Áp dụng tính chất của đường thẳng song song**: Đường thẳng DE song song với BC, theo quy tắc tương ứng với các tam giác đồng dạng (Tam giác AID và AIE).

2. **Thiết lập tỉ số**:
\[
\frac{EI}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]
Do đó, với DE song song với BC, EI và EC sẽ giữ tỉ lệ này.

3. **Kết luận**: Từ đó, chúng ta có thể khẳng định rằng độ dài EI và EC bằng nhau.

### Giải:

- **Câu a**: \( \frac{DB}{DI} = \frac{AB}{AI} \)
- **Câu b**: \( EI = EC \)

Vậy chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh theo đúng yêu cầu đề bài.