Để giải bài toán này, ta có thể phân tích từng phần một.

### a) Ba điểm B, C và D có thuộc O không? Vì sao?
- **Điểm B** là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d. Vì A thuộc O (đường tròn) nên khoảng cách từ O đến A bằng bán kính R. Khi lấy điểm B đối xứng qua đường thẳng d, điểm B vẫn sẽ nằm trên đường tròn O, vì đối xứng qua một đường thẳng chỉ thay đổi vị trí của điểm mà không thay đổi khoảng cách từ điểm đó tới tâm O.
- **Điểm C** là điểm đối xứng của A qua O, do đó C sẽ cũng nằm trên đường tròn O vì nó chịu tác động của phép đối xứng qua tâm O.
- **Điểm D** là điểm đối xứng của B qua O. Tương tự như C, D cũng sẽ nằm trên O.

Vì vậy, cả ba điểm B, C, và D đều thuộc đường tròn O.

### b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Để tứ giác ABCD là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng bốn góc của nó đều bằng 90 độ.

1. **Góc A và B**:
- Do B là điểm đối xứng của A qua d, nên đường thẳng d sẽ là trung trực của đoạn AB. Điều này có nghĩa là góc ADB (điểm D là điểm đối xứng của B qua O) sẽ bằng 90 độ.

2. **Góc C và D**:
- Tương tự, góc ACB cũng sẽ là góc vuông vì D là đối xứng của B qua O.

Do đó, các góc A, B, C, D đều là các góc vuông và tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh C và D đối xứng nhau qua d.
- Để chứng minh C và D đối xứng nhau qua d, ta cần chỉ ra rằng đường thẳng d là trung trực của đoạn CD.
- Vì C là điểm đối xứng của A qua O, và D là điểm đối xứng của B qua O, nên O là trung điểm của đoạn CD.
- Lại nữa, vì đường thẳng d là đường đối xứng đi qua A và B, thì d sẽ cũng là trung trực của đoạn CD.

Vậy C và D chính là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d.

Tóm lại:
- a) B, C, D đều thuộc O.
- b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
- c) C và D đối xứng nhau qua d.