Để chứng minh điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và nằm trên đường tròn \( O \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- Đặt điểm \( O \) tại gốc tọa độ \((0,0)\).
- Điểm \( A \) có tọa độ \( (3, 0) \).
- Điểm \( B \) có tọa độ \( (0, 4) \).

2. **Tính tọa độ điểm \( M \)**:
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( AB \), do đó, tọa độ của \( M \) được tính như sau:
\[
M\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = M\left( \frac{3 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = M\left( \frac{3}{2}, 2 \right)
\]

3. **Kiểm tra xem \( M \) có nằm trên đường tròn hay không**:
- Đường tròn \( O \) có phương trình \( x^2 + y^2 = r^2 \), với \( r = 2.5 \) cm:
\[
x^2 + y^2 = 2.5^2 = 6.25
\]
- Tính \( M\left( \frac{3}{2}, 2 \right) \):
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{25}{4} = 6.25
\]

4. **Kết luận**:
- Vì \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2 = 6.25 \), suy ra \( M \) nằm trên đường tròn \( O \).

Vậy tổng hợp lại, chúng ta đã chứng minh thành công rằng điểm \( M \) không chỉ là trung điểm của đoạn \( AB \) mà còn nằm trên đường tròn \( O \).