Trong tam giác \( ABC \), điểm \( I \) là giao điểm của ba đường phân giác. Để chứng minh rằng \( \angle ADE + \angle BIC = 180^\circ \) với \( ID \) vuông góc với \( AB \) tại \( D \) và \( IE \) vuông góc với \( BC \) tại \( E \), ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. **Ký hiệu các góc**:
Gọi \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \), và \( \angle C = \gamma \). Khi đó, theo tính chất của tam giác, ta có:
\[
\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
\]

2. **Xác định các góc**:
Vì \( I \) là điểm giao của ba đường phân giác, nên:
- \( \angle BAI = \frac{1}{2} \alpha \)
- \( \angle ABI = \frac{1}{2} \beta \)

3. **Góc \( \angle BIC \)**:
Xét tam giác \( BIC \), ta có:
\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A = 90^\circ + \frac{1}{2} \alpha
\]

4. **Tính góc \( \angle ADE \)**:
Do \( ID \) vuông góc với \( AB \) tại \( D \), nên:
\[
\angle ADE = 90^\circ - \angle BAI = 90^\circ - \frac{1}{2} \alpha
\]

5. **Tính tổng \( \angle ADE + \angle BIC \)**:
Bây giờ ta tính tổng:
\[
\angle ADE + \angle BIC = \left(90^\circ - \frac{1}{2} \alpha\right) + \left(90^\circ + \frac{1}{2} \alpha\right)
\]
Rút gọn biểu thức trên:
\[
= 90^\circ - \frac{1}{2} \alpha + 90^\circ + \frac{1}{2} \alpha = 180^\circ
\]

Vì vậy, ta có \( \angle ADE + \angle BIC = 180^\circ \). Kết luận này hoàn tất cho phép ta khẳng định:
\[
\angle ADE + \angle BIC = 180^\circ
\]
đúng như yêu cầu cần chứng minh.