Để chứng minh các biểu thức trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần 1
Cần chứng minh rằng:

\[
(m + 4)(m^2 - 4m + 16) + 6m^3 - 1 \text{ chia hết cho } 7.
\]

**Bước 1: Phát triển biểu thức**

Phát triển biểu thức đầu tiên:

\[
(m + 4)(m^2 - 4m + 16) = m(m^2 - 4m + 16) + 4(m^2 - 4m + 16)
\]
\[
= m^3 - 4m^2 + 16m + 4m^2 - 16m + 64 = m^3 + 64.
\]

Vậy:

\[
(m + 4)(m^2 - 4m + 16) + 6m^3 - 1 = m^3 + 64 + 6m^3 - 1 = 7m^3 + 63.
\]

**Bước 2: Chia hết cho 7**

Ta có:

\[
7m^3 + 63 = 7(m^3 + 9).
\]

Rõ ràng \(7(m^3 + 9)\) chia hết cho 7.

### Kết luận phần 1:
Biểu thức đầu tiên chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên \(m\).

---

### Phần 2
Cần chứng minh rằng:

\[
17m^3 - (m + 2)(m^2 - 2m + 4) \text{ chia hết cho } 8.
\]

**Bước 1: Phát triển biểu thức**

Phát triển biểu thức thứ hai:

\[
(m + 2)(m^2 - 2m + 4) = m(m^2 - 2m + 4) + 2(m^2 - 2m + 4)
\]
\[
= m^3 - 2m^2 + 4m + 2m^2 - 4m + 8 = m^3 + 8.
\]

Vậy:

\[
17m^3 - (m + 2)(m^2 - 2m + 4) = 17m^3 - (m^3 + 8) = 16m^3 - 8.
\]

**Bước 2: Chia hết cho 8**

Ta có:

\[
16m^3 - 8 = 8(2m^3 - 1).
\]

Rõ ràng \(8(2m^3 - 1)\) chia hết cho 8.

### Kết luận phần 2:
Biểu thức thứ hai cũng chia hết cho 8 với mọi số tự nhiên \(m\).

---

### Kết luận chung
Cả hai biểu thức được yêu cầu đều chia hết cho số tương ứng.