Để tìm tất cả các giá trị tự nhiên của \( x \) sao cho biểu thức

\[
A = x^4 + 4
\]

có giá trị là một số nguyên tố, ta thực hiện như sau:

1. **Xét biểu thức**: Ta có thể viết lại biểu thức \( A \) như sau:

\[
A = x^4 + 4 = (x^2 - 2)^2 + 4x^2
\]

2. **Tính giá trị cho các giá trị của \( x \)**: Ta sẽ thử với các giá trị tự nhiên của \( x \):

- **Khi \( x = 0 \)**:
\[
A = 0^4 + 4 = 4 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( x = 1 \)**:
\[
A = 1^4 + 4 = 5 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]

- **Khi \( x = 2 \)**:
\[
A = 2^4 + 4 = 20 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( x = 3 \)**:
\[
A = 3^4 + 4 = 85 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( x = 4 \)**:
\[
A = 4^4 + 4 = 260 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( x = 5 \)**:
\[
A = 5^4 + 4 = 629 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( x = 6 \)**:
\[
A = 6^4 + 4 = 1296 + 4 = 1300 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- **Khi \( x = 7 \)**:
\[
A = 7^4 + 4 = 2401 + 4 = 2405 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

3. **Kết luận**: Sau khi thử nghiệm với một số giá trị, chỉ có \( x = 1 \) cho ra giá trị nguyên tố.

Vậy, giá trị tự nhiên của \( x \) để biểu thức \( A \) là một số nguyên tố chỉ có:

\[
\boxed{1}
\]