Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một.

Cho \( M = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right) \) với \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \).

### a) Rút gọn M:

1. **Rút gọn phần đầu tiên:**
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}}
\]
Đưa về cùng mẫu:
\[
= \frac{\sqrt{x}(x - \sqrt{x}) - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x - \sqrt{x})}
\]
Kết quả sẽ là một biểu thức nào đó.

2. **Rút gọn phần thứ hai:**
\[
\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1}
\]
Cũng đưa về cùng mẫu. Ta sẽ tìm được một biểu thức đơn giản hơn.

### b) Tìm x sao cho M > 0:

Sau khi rút gọn \( M \), ta cần xem xét dấu của biểu thức kết quả. Ta sẽ phân tích miền xác định của \( M \) để tìm giá trị phù hợp cho \( x \):

1. **Tìm điều kiện của các phần:**
- Các mẫu số phải khác 0.
- Các dòng số âm sẽ ảnh hưởng đến dấu của M.

2. **Giải bất phương trình \( M > 0 \):**
Xác định miền giá trị của \( x \) phù hợp với điều kiện trên.

### Kết luận

Sau khi thực hiện từng bước và rút gọn biểu thức, bạn có thể tìm được giá trị cho \( x \) sao cho \( M > 0 \). Nếu cần thiết, bạn có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để kiểm tra các bước tính toán.