01/01/2019 22:10:47

Chứng minh các bất đẳng thức sau

16 trả lời

+ Trả lời

Hỏi gia sư

Học GS

1.762

16 trả lời

Thưởng th.10.2024

Xếp hạng

Đấu trường tri thức +500K

0

606a
Ta có a^2 + b^2 ≥ 2ab (bđt cô si)
<=> a^2 - ab + b^2 ≥ ab
<=> (a + b)(a^2 - ab + b^2) ≥ ab(a + b)
<=> a^3 + b^3 ≥ ab(a + b)
<=> 4(a^3 + b^3) ≥ a^3 + b^3 + 3ab(a + b)
<=> 4(a^3 + b^3) ≥ (a + b)^3
<=> 4(a^3 + b^3)/8 ≥ (a + b)^3/8
<=> ((a + b)/2)^3 ≤ (a^3 + b^3)/2
Dấu "=" xảy ra <=> a = b

1

0

606b
ta có a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)
<=> 2(a^3b + ab^3) = 2ab(a^2 + b^2)
<=> 2(a^3b + ab^3) ≤ (a^2 + b^2)^2 (bđt cô si)
<=> 2(a^3b + ab^3) ≤ a^4 + 2a^2b^2 + b^4
<=> 2(a^3b + ab^3) ≤ 2(a^4 + b^4) (bđt cô si)
<=> a^4 + b^4 ≥ a^3b + ab^3 (đpcm)
dấu"=" xảy ra <=> a = b

0

606c
a^4 + 3 = a^4 + 1 + 1 + 1
<=> a^4 + 3 ≥ 4 . a . 1 . 1 . 1 (bđt cô si)
<=> a^4 + 3 ≥ 4a (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = 1
606d
a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3 . a . b . c (bđt cô si)
<=> a^3 + b^3 + c^3 ≥ 3abc (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = b = c

0

606e
ta có 2a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ (a^4 + b^4)^2 (bđt cô si)
<=> 2a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ a^8 + 2a^4b^4 + b^8
<=> 2a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ 2(a^8 + b^8) (bđt cô si)
<=> a^2b^2(a^4 + b^4) ≤ (a^8 + b^8)
<=> a^4 + b^4 ≤ (a^8 + b^8)/(a^2b^2)
<=> a^4 + b^4 ≤ a^6/b^2 + b^6/a^2 (đpcm)
dấu"="xảy ra <=> a = b

0

606f
Xét hiệu 1/(1 + a^2) + 1/(1 + b^2) - 2/(1 + ab) (1)
= [1/(1 + a^2) - 1/(1 + ab)] + [1/(1 + b^2) - 1/(1 + ab)]
= (1 + a^2 - 1 - ab)/[(1 + a^2)(1 + ab)] + (1 + b^2 - 1 - ab)/[(1 + b^2)(1 + ab)]
= (a^2 - ab)/[(1 + a^2)(1 + ab)] + (b^2 - ab)/[(1 + b^2)(1 + ab)]
= (a^2 - ab)(1 + b^2) + (b^2 - ab)(1 + a^2)/[(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + ab)]
= (a - b)^2(ab - 1)/[(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + ab)]
Vì ab ≥ 1
nên (a - b)^2(ab - 1)/[(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + ab)] ≥ 0 (2)
ta có biểu thức (2) ≥ 0
=> biểu thức (1) ≥ 0
<=> 1/(1 + a^2) + 1/(1 + b^2) - 2/(1 + ab) ≥ 0
<=> 1/(1 + a^2) + 1/(1 + b^2) ≥ 2/(1 + ab) (đpcm)
dấu "=" xảy ra <=> a = b

0

606g
ta có a^2 + 3 = (a^2 + 2) + 1
<=> a^2 + 3 ≥ 2√(a^2 + 2).1 (bđt cô si)
<=> a^2 + 3 ≥ 2√(a^2 + 2)
<=> (a^2 + 3)/√(a^2 + 2) ≥ 2
Dấu"=" xảy ra <=> a^2 + 2 = 1
<=> a^2 = -1(vô lí)
Vì dấu"=" không xảy ra
nên (a^2 + 3)/√(a^2 + 2) > 2 (đpcm)

0

606h
Ta có (a^5 + b^5)(a + b) = a^6 + b^6 + ab(a^4 + b^4)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) = 2a^6 + 2b^6 + 2ab(a^4 + b^4)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + ab . (a^2 + b^2)^2 (bđt cô si)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + ab . 2ab(a^2 + b^2) (bđt cô si)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + 2a^2b^2(a^2 + b^2)
<=> 2(a^5 + b^5)(a + b) ≥ 2a^6 + 2b^6 + 2a^4b^2 + 2a^2b^4
<=> (a^5 + b^5)(a + b) ≥ a^6 + b^6 + a^4b^2 + a^2b^4
<=> (a^5 + b^5)(a + b) ≥ (a^4 + b^4)(a^2 + b^2) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b

0

607a
Ta có
a^2 + 1 ≥ 2a
b^2 + 1 ≥ 2b
c^2 + 1 ≥ 2c
<=> (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≥ 2a . 2b . 2c
<=> (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1) ≥ 8abc
dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

0

607b
ta có
a^2 + 4 ≥ 4a
b^2 + 4 ≥ 4b
c^2 + 4 ≥ 4c
d^4 + 4 ≥ 4d
=> (a^2 + 4)(b^2 + 4)(c^2 + 4)(d^2 + 4) ≥ 4a . 4b . 4c . 4d
<=> (a^2 + 4)(b^2 + 4)(c^2 + 4)(d^2 + 4) ≥ 256abcd
dấu"=" xảy ra <=> a = b = c = d = 2

0

607c
Ta có a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2a^2b^2 + 2c^2d^2
=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2√(2a^2b^2 . 2c^2d^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 2√(4a^2b^2c^2d^2)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + d^4 ≥ 4abcd (đpcm)
dấu"=" xảy ra <=> a = b = c = d

0

608
Cm : a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
Ta có (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≥ 0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2bc + a^2) ≥ 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca (đpcm)

0

608
a) Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab + bc + ca)
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) + a^2 + b^2 + c^2 ≥ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2 (đpcm)
c) Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) ≥ ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca)
<=> (a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca) (đpcm)

0

608b
Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) ≥ 2(ab + bc + ca)
<=> 2(a^2 + b^2 + c^2) + a^2 + b^2 + c^2 ≥ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2
<=> 3(a^2 + b^2 + c^2)/9 ≥ (a + b + c)^2/9
<=> (a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ ((a + b + c)/3)^2 (đpcm)
dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

0

608d
Ta có 2(a^3b + b^3a) = 2ab(a^2 + b^2)
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ (a^2 + b^2)^2
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ 2(a^4 + b^4)
<=> a^3b + b^3a ≤ a^4 + b^4
Tượng tự b^3c + bc^3 ≤ b^4 + c^4
c^3a + ca^3 ≤ c^4 + a^4
do đó a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4) + a^4 + b^4 + c^4
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> (a^3 + b^3 + c^3)(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
=> 3abc(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> abc(a + b + c) ≤ a^4 + b^4 + c^4 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

1

0

608f
Ta có 2(a^3b + b^3a) = 2ab(a^2 + b^2)
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ (a^2 + b^2)^2
=> 2(a^3b + b^3a) ≤ 2(a^4 + b^4)
<=> a^3b + b^3a ≤ a^4 + b^4
Tượng tự b^3c + bc^3 ≤ b^4 + c^4
c^3a + ca^3 ≤ c^4 + a^4
do đó a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4)
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 2(a^4 + b^4 + c^4) + a^4 + b^4 + c^4
<=> a^4 + b^4 + c^4 + a^3b + b^3a + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3 ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> (a^3 + b^3 + c^3)(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
=> 3abc(a + b + c) ≤ 3(a^4 + b^4 + c^4)
<=> abc(a + b + c) ≤ a^4 + b^4 + c^4
<=> abc ≤ a^4 + b^4 + c^4
Dấu"=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3

1

0

608e
Ta có a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) ≥ ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca)
<=> (a + b + c)^2 ≥ 3(ab + bc + ca)
<=> (a + b + c)^2/9 ≥ 3(ab + bc + ca)/9
<=> ((a + b + c)/3)^2 ≥ (ab + bc + ca)/3
<=> (a + b + c)/3 ≥ √((ab + bc + ca)/3)
dấu"=" xảy ra <=> a = b = c

Trả lời nhanh trong 10 phút và nhận thưởng

Đấu trường tri thức +500K

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI

Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội
Fanpage:	https://www.fb.com/lazi.vn
Group:	https://www.fb.com/groups/lazi.vn
Kênh FB:	https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB
LaziGo:	https://go.lazi.vn/join/lazigo
Discord:	https://discord.gg/4vkBe6wJuU
Youtube:	https://www.youtube.com/@lazi-vn
Tiktok:	https://www.tiktok.com/@lazi.vn

Bài tập liên quan

Cho phương trình x^2 + 2(m - 1)x + m^2 + 2m - 3 = 0 phương trình có 2 ngiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2. Tính giá trị biểu thức P = |x1 - x2| (Toán học - Lớp 10)

1 trả lời

Trắc nghiệm Toán học Lớp 10 mới nhất

Một anten gương đơn hình parabol có phương trình y² = 20x. Ống thu của anten được đặt tại tiêu điểm của nó. Ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ là

Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình x236−y249=1. Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng

Một kiến trúc sư quan tâm đến việc thiết kế một mái vòm mỏng có hình dạng của hình Hyperbolic parabolid như Hình 1. Hỏi điểm thuộc Hyperbol nằm cao hơn đỉnh 6 m ở bên phải cách đỉnh bao xa (làm tròn tới hai chữ số thập phân)?

Hai tháp vô tuyến cách nhau 200 km được đặt dọc bờ biển với A nằm về phía Tây đối với B. Các tín hiệu vô tuyến được gửi đồng thời từ mỗi tháp tới một con tàu và tín hiệu ở B nhận được sớm hơn 500 micro giây trước tín hiệu ở A. Giả sử rằng các tín ...

Một vụ nổ được hai micro M₁ và M₂ cách nhau 2 dặm ghi lại (1 dặm bằng 5 280 feet). Micro M₁ nhận được âm thanh trước 4 giây so với micro M₂. Giả sử âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây. Tập tất cả ...

Một con tàu đang trên hành trình đi song song với một bờ biển thẳng và cách bờ 80 km. Hai trạm truyền tin S₁ và S₂ nằm trên bờ biển, cách xa nhau 220 km. Bằng cách tính giờ các tín hiệu vô tuyến từ hai trạm, hoa tiêu của tàu xác ...

Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ được truyền bởi các trạm phát đặt cách xa nhau. Các xung này di chuyển với tốc độ ánh sáng (186 000 dặm/giây). Sự chênh lệch về thời gian nhận được phản ...

Điều hướng LORAN (điều hướng vô tuyến đường dài) cho máy bay và tàu thủy sử dụng các xung đồng bộ được truyền bởi hai trạm phát đặt cách xa nhau. Các xung này di chuyển với tốc độ ánh sáng (186 000 dặm/giây). Sự chênh lệch về thời gian nhận được phản ...

Một gương hypebol (được sử dụng trong một số kính thiên văn) có tính chất là một tia sáng hướng vào tiêu điểm sẽ bị phản xạ sang tiêu điểm khác. Gương trong hình vẽ có phương trình x236−y264=1. Điểm nào trên gương sẽ nhận được tia sáng đi qua điểm ...

Để chụp toàn cảnh, ta có thể sử dụng một gương hypebol. Máy ảnh được hướng về phía đỉnh của gương và tâm quang học của máy ảnh được đặt tại một tiêu điểm của gương (hình vẽ). Phương trình cho mặt cắt của gương là x225−y216=1. Khoảng cách từ quang ...

Xem thêm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui	Buồn	Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

Trang chủ	Giải đáp bài tập	Đố vui	Ca dao tục ngữ	Liên hệ	Tải ứng dụng Lazi
Giới thiệu	Hỏi đáp tổng hợp	Đuổi hình bắt chữ	Thi trắc nghiệm	Ý tưởng phát triển Lazi
Chính sách bảo mật	Trắc nghiệm tri thức	Điều ước và lời chúc	Kết bạn 4 phương	Xem lịch
Điều khoản sử dụng	Khảo sát ý kiến	Xem ảnh	Hội nhóm	Bảng xếp hạng
Tuyển dụng	Flashcard	DOL IELTS Đình Lực	Mua ô tô	Bảng Huy hiệu
Đấu trường tri thức	Thơ văn danh ngôn	Từ điển Việt - Anh	Đề thi, kiểm tra	Xem thêm

Chứng minh các bất đẳng thức sau

Cho phương trình: x^2 + (m - 1)x + 5m - 6 = 0. Giải phương trình khi m = -1 (Toán học - Lớp 10)

Cho a, b là 2 số thực sao cho a^3 + b^3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2 (Toán học - Lớp 10)

Giải hệ phương trình sau (Toán học - Lớp 10)

Cho 3 số a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau (Toán học - Lớp 10)

Cho phương trình x^2 + 2(m - 1)x + m^2 + 2m - 3 = 0 phương trình có 2 ngiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2. Tính giá trị biểu thức P = |x1 - x2| (Toán học - Lớp 10)

Cho góc x bất kì. Chứng minh sin^4x - cos^4x = 2sin^2x - 1 (Toán học - Lớp 10)

Tìm m để mỗi hệ bất phương trình có nghiệm (Toán học - Lớp 10)

Giải các phương trình sau (Toán học - Lớp 10)

Chứng minh các bất đẳng thức sau (Toán học - Lớp 10)

Giải hệ phương trình: 3y = y^2 + 2/x^2 và 3x = x^2 + 2/y^2 (Toán học - Lớp 10)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình x^2-2mx^3+3mx^2+4mx+4 ≥ 0 có tập nghiệm là R? (Toán học - Lớp 10)

Các khẳng định sau đúng hay sai (Toán học - Lớp 10)

Tìm m để mọi x ∈ [ - 1; 1] đều là nghiệm của bất phương trình: (Toán học - Lớp 10)

Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=C. Tính theo a, b, c (Toán học - Lớp 10)

Cho ΔABC với BC = 0, CA = b, AB = c (Toán học - Lớp 10)

Tính các tích vô hướng (Toán học - Lớp 10)

Cho tam giác ABC; tìm tập hợp các điểm M sao cho (Toán học - Lớp 10)

Tìm x để hai vectơ \( a = (x; 2) \) và \( b = (2; -3) \) có giá trị vuông góc với nhau (Toán học - Lớp 10)

Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Toán học - Lớp 10)

Tìm m để góc giữa 2 vecto a và b bằng 45 độ (Toán học - Lớp 10)

Một anten gương đơn hình parabol có phương trình y² = 20x. Ống thu của anten được đặt tại tiêu điểm của nó. Ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ là

Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình x236−y249=1. Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng

Một kiến trúc sư quan tâm đến việc thiết kế một mái vòm mỏng có hình dạng của hình Hyperbolic parabolid như Hình 1. Hỏi điểm thuộc Hyperbol nằm cao hơn đỉnh 6 m ở bên phải cách đỉnh bao xa (làm tròn tới hai chữ số thập phân)?

Một vụ nổ được hai micro M₁ và M₂ cách nhau 2 dặm ghi lại (1 dặm bằng 5 280 feet). Micro M₁ nhận được âm thanh trước 4 giây so với micro M₂. Giả sử âm thanh di chuyển với tốc độ 1 100 feet/giây. Tập tất cả ...

Một con tàu đang trên hành trình đi song song với một bờ biển thẳng và cách bờ 80 km. Hai trạm truyền tin S₁ và S₂ nằm trên bờ biển, cách xa nhau 220 km. Bằng cách tính giờ các tín hiệu vô tuyến từ hai trạm, hoa tiêu của tàu xác ...

Chứng minh các bất đẳng thức sau

Đăng nhập

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời