Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK

Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (1)

Xét ∆ABK và ∆CBM, ta có:

AB = CB (gt)

∠A = ∠C = 900

AK = CM (theo cách vẽ)

Suy ra: ∆ABK = ∆CBM (c.g.c)

⇒ ∠B1 = ∠B4 (2)

Lại có: ∠B1 = ∠B2 ( do BK là tia phân giác của ABE)

Suy ra: ∠B1 = ∠B2 = ∠B4

Mà ∠(KBC) = 900 - ∠B1 (3)

Tam giác CBM vuông tại C nên: ∠M = 900 - ∠B4 (4)

Từ (2), (3) và (4) suy ra: ∠(KBC) = ∠M (5)

Hay ∠B2 + ∠B3 = ∠M

⇒ ∠B4 + ∠B3 = ∠M( vì ∠B2 = ∠B4 )

Hay: ∠(EBM) = ∠M

⇒ ∆EBM cân tại E ⇒ EM = BE. (6)

Từ (1) và (6) suy ra: AK + CE = BE.