Gọi H là giao điểm của DE và CF, K là giao điểm của CM và EF.

Do ABCD là hình vuông nên ta có: \(\widehat {DAB} = 90^\circ ,CD = DA,\widehat {ADB} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC} = 45^\circ \)

Chu vi của hình chữ nhật AEMF là: 2(AE + AF) = 2(DF + AF) = 2AD.

Mà AD không đồi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đồi.

Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông. Suy ra ME = MF.

Khi đó ∆BEM = ∆DFM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra BM = DM hay M là trung điểm của BC.

Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.