Hướng dẫn giải

A = x²+ 5y²– 4xy – 2y + 2x + 2010

= x²+ 4y²+ y²– 4xy – 4y + 2y + 2x + 1 + 1 + 2008

= (x²– 4xy + 4y²) + (2x – 4y) + (y²+ 2y + 1) + 1 + 2008

= (x – 2y)²+ 2(x – 2y) + 1 + (y + 1)²+ 2008

= (x – 2y + 1)²+ (y + 1)²+ 2008

Vì \[{\left( {x--2y + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\; \ge 0{\rm{ }}\forall x;y\]

Do đó (x – 2y + 1)²+ (y + 1)²+ 2008 ≥ 2008 với mọi x, y

Dấu “=” xảy ra khi x – 2y + 1 = 0 và y + 1 = 0

Ta có:

y + 1 = 0 ⇒ y = – 1

Thay y = – 1 vào x – 2y + 1 = 0

⇒ x – 2.(– 1) + 1 = 0

⇒ x = – 3

Vậy GTNN của A là 2008 khi x = – 3 và y = – 1.