Cho ΔABC vuông tại A. Đường trung tuyến AN. Điểm M là hình chiếu vuông góc của N trên AB. Vẽ điểm Q đối xứng với với điểm N qua AC. Gọi giao điểm của NQ và AC là P.
1) Các tứ giác AMNP, ANCQ là hình gì? Vì sao?
2) AN cắt MP tại điểm E. Chứng minh: Ba điểm B, E, Q thẳng hàng.
3) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCQ là hình thang cân.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Hướng dẫn giải
1) Xét tứ giác AMNP, có: \(\widehat {MAN} = \widehat {AMN} = \widehat {APN} = 90^\circ \)
Do đó tứ giác AMNP là hình chữ nhật.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NP \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow NP//AB\)
Xét tam giác ABC có: N là trung điểm của BC và NP // AB
Suy ra P là trung điểm của AC.
Vì N đối xứng với Q qua AC nên P là trung điểm của AC.
Xét tứ giác ANCQ có hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường
Suy ra tứ giác ANCQ là hình bình hành
Mà có \(AC \bot NQ\) (gt)
Vậy tứ giác ANCQ là hình thoi
2) Ta có AMNP là hình chữ nhật có AN cắt MP tại E
Suy ra E là trung điểm của AN và MP
Xét tam giác ABC có: N, P là trung điểm của BC, AC
Nên NP là đường trung bình trong tam giác ABC.
\( \Rightarrow NP = \frac{1}{2}AB\)
mà \(NP = \frac{1}{2}NQ\) (vì P là trung điểm của NQ)
⇒ AB = NQ
Xét tứ giác ABNQ có: NQ = AB (cmt) và NQ // AB (vì NP // AB)Suy ra ABNQ là hình bình hànhmà E là trung điểm của AN (cmt)Nên E cũng là trung điểm của BQVậy 3 điểm B, E, Q thẳng hàng
3) Vì ABNQ là hình bình hành nên AQ // BN
Hay AQ // BC
Do đó ABCQ là hình thang.
Vì ABNQ là hình thoi nên CA là phân giác của góc QCN
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {ACQ} = \frac{1}{2}\widehat {QCB}\) hay \(\widehat {QCB} = 2\widehat {ACB}\)
Để hình thang ABCQ là hình thang cân thì \(\widehat {ABC} = \widehat {QCB}\)
Mà \(\widehat {QCB} = 2\widehat {ACB}\)
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = 2\widehat {ACB}\)
Xét ΔABC vuông tại A có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow 2\widehat {ACB} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow 3\widehat {ACB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \)
Vậy tam giác ABC có \(\widehat {ACB} = 30^\circ \) thì ABCQ là hình thang cân.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |