Lời giải:

a) Do AC, EC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C nên AC = EC.

          BD, ED là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại D nên BD = BE

Do đó AC + BD = EC + BE = CD.

Vậy CD = AC ++ BD.

b) Do E thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên \(\widehat {AEB} = 90^\circ \)

DABK vuông tại A, có đường cao AE nên theo hệ thức lượng ta có: AE² = KE.EB.

DAEB vuông tại E, có đường cao EF nên theo hệ thức lượng ta có: AE² = AF.AB.

Do đó AF.AB = KE.EB.

c) Xét DABC có AC // IF nên theo định lí Talet ta có:\(\frac = \frac\).

Xét DBCD có IE // BD nên theo định lí Talet ta có:\(\frac = \frac\).

Lại có CE = AC và ED = BD nên \(\frac = \frac = \frac = \frac\) hay \(\frac = \frac\)

Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta BFD\) có:

\(\widehat {CAF} = \widehat {DBF} = 90^\circ \) và \(\frac = \frac\)

Do đó

\( \Rightarrow \widehat {AFC} = \widehat {BFD}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AFC} + \widehat {CFE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BFD} + \widehat {DFE} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CFE} = \widehat {DFE}\) hay FE là phân giác của \(\widehat {CFD}\).

d) Ta có: AC = EC và OA = OE nên OC là đường trung trực của AE.

Lại có AE ⊥ KB nên OC // KB.

Mà O là trung điểm của AB nên C là trung điểm của AK.

Do EF // AK nên \(\frac = \frac = \frac\) (hệ quả định lí Talet)

Mà KC = CA nên EI = IF.

• Tia IM cắt AC tại Q, tia IB cắt BD tại Q.

CP // IF nên \(\frac = \frac\) (hệ quả định lí Talet)

PA // IE nên \(\frac = \frac\) (hệ quả định lí Talet)

Suy ra \(\frac = \frac\left( { = \frac} \right)\), mà EI = IF nên CP = PA hay P là trung điểm của AC.

Tương tự ta cũng chứng minh được Q là trung điểm của BD.

Ta có: IE // BD nên \(\frac = \frac = \frac = \frac = \frac\) và \(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\) (so le trong).

Xét DPCI và DQBI có:

\(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\) và \(\frac = \frac\)

Suy ra

Do đó \(\widehat {PIC} = \widehat {QIB}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {PIC} + \widehat {PIB} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {QIB} + \widehat {PIB} = 180^\circ \)

Suy ra P, I, Q thẳng hàng hay M, I, N thẳng hàng.