Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

Mà M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên OM, ON, OP là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó OM ⊥ BC, ON ⊥ CA, OP ⊥ AB.

Vì ∆OAN vuông tại N nên tam giác nội tiếp đường tròn có đường kính OA. Do đó O, A, N nằm trên đường tròn đường kính OA.

Vì ∆OAP vuông tại P nên tam giác nội tiếp đường tròn đường kính OA. Do đó O, A, P nằm trên đường tròn đường kính OA.

Suy ra bốn điểm A, N, O, P nằm trên đường tròn đường kính OA.

Vì vậy, tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Chứng minh tương tự, ta có BPOM nội tiếp đường tròn đường kính OB, CMON nội tiếp đường tròn đường kính OC.

Vậy ANOP, BPOM, CMON là các tứ giác nội tiếp.