a) Ta có OBA^= 90° (AB là tiếp tuyến của (O))

OCA^= 90° (AC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có OBA^+ OCA^= 90° + 90° = 180°

Do đó tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Xét ∆ABE và ∆ADB có:

BAD^ là góc chung

BDA^=EBA^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BE)

Suy ra ∆ABE đồng dạng ∆ADB (g.g)

Từ đó suy ra ABAD=AEAB⇔AB2=AD.AE (điều phải chứng minh)

c) Xét ∆OBA và ∆OCA có:

OA = OB = R

AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

AO là cạnh chung

Suy ra ∆OBA = ∆OCA (c.c.c)

Xét ∆AOB vuông tại B có AO = 2R, OB = R.

Suy ra AB = OA2−OB2=4R2−R2=3R

Ta có cos(BOA^) =OBOA=R2R=12.

Suy ra BOA^=60°.

S_AOB = 12AB . OB=12 . R . 3R=32R2

S_ABOC = S_AOB + S_AOC = 2S_AOB = 2.32R2=3R2

Ta có: OA là phân giác của góc BOC^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra BOC^=2 . BOA^=2.60°=120°

Khi đó,

Số đo BC⌢ nhỏ = BOC^=120°.

Số đo BC⌢ lớn = 360° − số đo BC⌢ nhỏ = 360° −120° = 240°.

⇒BEC^=12số đo BC⌢ lớn =12  .  240°=120°