a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A

⇒cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=b2+c2−a22bc  (1)

Ta lại có: sin² A + cos² A = 1

Do đó: sin² A = 1 – cos² A

Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < A^< 180° nên sin A > 0.

Nên sinA=1− cos2A   (2)

Từ (1) và (2) ta có:

sinA=1−b2+c2−a22bc2=2bc22bc2−b2+c2−a222bc2

=2bc2−b2+c2−a222bc2=2bc+b2+c2−a22bc−b2−c2+a22bc2

=b+c2−a2a2−b−c22bc=b+c+ab+c−aa+b−ca−b+c2bc

=a+b+ca+b+c−2aa+b+c−2ca+b+c−2b2bc

Lại có p=a+b+c2⇒a+b+c=2p

Khi đó: sinA=2p.2p−2a2p−2b2p−2c2bc=16pp−ap−bp−c2bc

Vậy sinA=2bcpp−ap−bp−c.

b) Diện tích tam giác ABC là S=12bcsinA.

Mà sinA=2bcpp−ap−bp−c

Nên S=12bc.2bcpp−ap−bp−c=pp−ap−bp−c.

Vậy S=pp−ap−bp−c.