Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ hệ đẳng thức:

\[
\frac{3x}{8} = \frac{3y}{64} = \frac{3z}{216}
\]

Gọi \( k \) là một hằng số, ta có:

\[
3x = 8k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{8k}{3}
\]

\[
3y = 64k \quad \Rightarrow \quad y = \frac{64k}{3}
\]

\[
3z = 216k \quad \Rightarrow \quad z = 72k
\]

Bây giờ ta thay \( x \), \( y \), và \( z \) vào phương trình thứ hai:

\[
2x^2 + 2y^2 - z^2 = 1
\]

Thay thế:

\[
2\left(\frac{8k}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{64k}{3}\right)^2 - (72k)^2 = 1
\]

Giải từng phần:

\[
2\left(\frac{64k^2}{9}\right) + 2\left(\frac{4096k^2}{9}\right) - 5184k^2 = 1
\]

\[
\frac{128k^2}{9} + \frac{8192k^2}{9} - 5184k^2 = 1
\]

\[
\frac{8320k^2}{9} - 5184k^2 = 1
\]

Chuyển về cùng mẫu:

\[
\frac{8320k^2 - 46656k^2}{9} = 1
\]

\[
\frac{-38336k^2}{9} = 1
\]

Do đó:

\[
k^2 = -\frac{9}{38336}
\]

Vì \( k^2 \) không thể âm, nên không có nghiệm cho hệ phương trình đã cho. Bạn vui lòng kiểm tra lại thông tin hoặc điều kiện bài toán.