Đáp án đúng là: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là u₁; u₂; u₃; u₄; u₅ và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên q ≠ 0.

+ Nếu q = 1 thì u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅, do đó u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 5u₁ = 31.

Suy ra u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅ = 315. Khi đó u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = 3155≠1 024. Vô lí.

Vậy q ≠ 1.

+ Với q ≠ {0; 1}. Khi đó u₂ = u₁q; u₃ = u₁q²; u₄ = u₁q³; u₅ = u₁q⁴.

Ta có u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = u15.q1+2+3+4=u15q10=u1q25 = 1 024 = 4⁵. Suy ra u₁q² = 4.

Suy ra u1=4q2.

Lại có u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = S₅ = u11−q51−q=4q21−q51−q=31.

Suy ra 4(1 – q⁵) = 31q²(1 – q)

⇔ 4(1 – q)(1 + q + q² + q³ + q⁴) – 31q²(1 – q) = 0

⇔ (1 – q) (4 + 4q + 4q² + 4q³ + 4q⁴ – 31q²) = 0

⇔ (1 – q)(4q⁴ + 4q³ – 27q² + 4q + 4) = 0

⇔q=14q4+4q3−27q2+4q+4=0  *

Vì q ≠ 1 nên ta loại trường hợp q = 1.

Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho q² (do q ≠ 0) ta được

4q2+4q−27+4q+4q2=0

⇔4q2+8+4q2+4q+4q−35=0

⇔2q+2q2+22q+2q−35=0 (**)

Đặt 2q+2q=t, khi đó (**) ⇔ t² + 2t – 35 = 0 ⇔ t = – 7 hoặc t = 5.

+ Với t = – 7, ta có 2q+2q=−7⇒2q2+2+7q=0⇔q=−7+332q=−7−332.

+ Với t = 5, ta có 2q+2q=5⇒2q2+2−5q=0⇔q=12q=2.

Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).

Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.