Tìm số hạng tổng quát của dãy

Để giải bài toán này, ta sẽ tìm số hạng tổng quát của dãy \( h_n \) theo quy luật đã cho.

**a)** Tìm số hạng tổng quát của dãy \( h_n \):

- Ban đầu, quả bóng bắt đầu từ độ cao \( h_1 = 100 \, m \).
- Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng sẽ nảy lên cao bằng \( \frac{1}{4} \) độ cao của lần rơi trước.
- Do đó, ta có công thức sau cho số hạng tổng quát:

\[
h_n = 100 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}
\]

**b)** Tính giới hạn của dãy \( h_n \) và nêu ý nghĩa:

- Giới hạn của dãy \( h_n \) khi \( n \) tiến tới vô cùng là:

\[
\lim_{n \to \infty} h_n = \lim_{n \to \infty} 100 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = 0
\]

- Ý nghĩa: Điều này có nghĩa là độ cao của quả bóng khi nảy lên sau nhiều lần chạm đất sẽ tiến dần về 0.

**c)** Gọi \( S_n \) là tổng độ dài quãng đường mà quả bóng đi được trong \( n \) lần nảy:

- Quãng đường đi được sẽ là tổng chiều rơi xuống và chiều nảy lên:

\[
S_n = h_1 + h_2 + h_2 + h_3 + h_3 + \ldots + h_n
\]
\[
S_n = h_1 + 2(h_2 + h_3 + \ldots + h_n)
\]

- Dễ thấy rằng tổng các số hạng \( h_n \) từ \( n=1 \) đến \( n \) là một cấp số nhân với \( r = \frac{1}{4} \):

\[
S_n = 100 + 2\sum_{k=1}^{n} 100 \left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}
\]

- Tính tổng của cấp số nhân:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} a r^k = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
với \( a = 100 \), \( r = \frac{1}{4} \), ta có:

\[
S_n = 100 + 2 \cdot 100 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n}{1 - \frac{1}{4}}
\]
\[
= 100 + 200 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n}{\frac{3}{4}}
\]
\[
= 100 + \frac{800}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n \right)
\]

**Tính \( S_n \)**, nếu quá trình này cứ tiếp diễn mãi thì tổng quãng đường quả bóng đi chuyển là bao nhiêu?

- Tính giới hạn của \( S_n \):

\[
\lim_{n \to \infty} S_n = 100 + \frac{800}{3}\left(1 - 0\right) = 100 + \frac{800}{3} = \frac{300 + 800}{3} = \frac{1100}{3} \approx 366.67 \, m
\]

Vậy tổng quãng đường quả bóng đi được khi quá trình này tiếp diễn mãi là \( \frac{1100}{3} \, m \).