Để chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \( m \) và \( n \), biểu thức \( mn(m^2 - 1)(n^2 + 2) \) chia hết cho 9, ta sẽ xem xét từng phần của biểu thức một cách riêng biệt.

1. **Phân tích \( m(n) \)**:
- \( m \) và \( n \) là các số nguyên dương, do đó \( mn \) là tích của hai số nguyên dương. Tùy thuộc vào giá trị của \( m \) và \( n \), \( mn \) có thể chia hết cho 3 (nếu ít nhất một trong hai số \( m \) hoặc \( n \) chia hết cho 3).

2. **Phân tích \( m^2 - 1 \)**:
- \( m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1) \).
- Hai số liên tiếp \( m-1 \) và \( m+1 \) có ít nhất một số chia hết cho 2, và một trong ba số liên tiếp \( m-1, m, m+1 \) luôn chia hết cho 3. Do đó, \( m^2 - 1 \) luôn chia hết cho 3.

3. **Phân tích \( n^2 + 2 \)**:
- Ta xem xét giá trị của \( n^2 + 2 \) mô tả theo \( n \) modulo 3:
- Nếu \( n \equiv 0 \mod 3 \Rightarrow n^2 \equiv 0 \Rightarrow n^2 + 2 \equiv 2 \mod 3 \) (không chia hết cho 3).
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \Rightarrow n^2 + 2 \equiv 0 \mod 3 \) (chia hết cho 3).
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \Rightarrow n^2 + 2 \equiv 0 \mod 3 \) (chia hết cho 3).
- Như vậy, \( n^2 + 2 \) chia hết cho 3 nếu \( n \equiv 1 \) hoặc \( n \equiv 2 \mod 3 \).

4. **Kết hợp các yếu tố**:
- Ta xét 2 trường hợp:
- **Trường hợp 1**: Nếu \( mn \) chia hết cho 3, thì \( mn(m^2 - 1)(n^2 + 2) \) chắc chắn chia hết cho 9 bởi vì \( m^2 - 1 \) cũng chia hết cho 3 (tổng thể sẽ có ít nhất 2 lần chia cho 3).
- **Trường hợp 2**: Nếu \( mn \) không chia hết cho 3, thì \( m \) hoặc \( n \) phải là 3, và trong trường hợp này \( m^2 - 1 \) sẽ góp phần chia hết cho 3.

Do đó, từ việc phân tích các thành phần ta có thể khẳng định rằng:

\[
mn(m^2 - 1)(n^2 + 2) \text{ chia hết cho } 9
\]

Kết luận, với mọi số nguyên dương \( m \) và \( n \), ta chứng minh được rằng \( mn(m^2 - 1)(n^2 + 2) \) chia hết cho 9.