Theo giả thiết ta có mọi thí sinh đều giải được ít nhất một bài toán. Nếu có một thí sinh chỉ giải đúng một bài toán, xét học sinh này với tất cả các học sinh còn lại, ta có mọi thí sinh đều giải được bài toán đó. Ta chỉ còn xét trường hợp mà mọi thí sinh giải được ít nhất hai bài toán.

Gọi số thí sinh giải được A,B mà không giải được C là x, số thí sinh giải được B,C mà không giải được A là y, số thí sinh giải được A,C mà không giải được B là z, số thí sinh giải được cả A,B,C là t.

Ta có: x + y + z + t = 60       (1)

Cách 1

Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.

Ta có: x + z + t < 40; x + y + t < 40; y + z + t < 40.

Do đó: x + z + t + x + y + t + y + z + t  < 40 + 40 + 40 

            2(x + y + z + t) + t < 120 

Kết hợp (1) có t <0. Điều này vô lí! Điều giả sử trên là sai.

Vậy có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.

Cách 2

Ta có số học sinh không giải được A là y, không giải được B là z, không giải được C là x.

Nếu x > 20, y > 20, z > 20 thì x + y + z > 60. Mâu thuẫn (1).

Do đó trong ba số x, y, z phải có một số không vượt quá 20.

Như vậy có một bài toán mà có nhiều nhất 20 thí sinh không giải được. Do đó bài toán này có ít nhất 40 thí sinh giải được.

Vậy có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.