Lời giải

a) Ta có D là điểm đối xứng của M qua N (giả thiết).

Suy ra N là trung điểm MD.

Mà N cũng là trung điểm AC (giả thiết).

Do đó tứ giác ADCM là hình bình hành (1)

∆ABC có AM là đường cao (giả thiết).

Suy ra AM ⊥ BC tại M.

Khi đó \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)   (2)

Từ (1), (2), ta được tứ giác ADCM là hình chữ nhật.

b) Ta có ADCM là hình chữ nhật.

Suy ra AD // MC và AD = MC (3)

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 90^\circ \);

AM là cạnh chung;

AB = AC (do ∆ABC cân tại A)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BM = CM (cặp cạnh tương ứng)    (4)

Từ (3), (4), suy ra AD = BM và AD // BM.

Do đó tứ giác ABMD là hình bình hành

Khi đó hai đường chéo AM và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Vậy BD đi qua trung điểm O của AM.

c) ∆AMD có O, N lần lượt là trung điểm của AM, MD.

Suy ra ∆AMD có hai đường trung tuyến DO, AN cắt nhau tại I.

Do đó I là trọng tâm của ∆AMD.

Vì vậy \(DI = \frac{2}{3}DO\).

Mà OD = OB (do ABMD là hình bình hành nên trung điểm O của AM cũng là trung điểm của BD).

Vậy \(DI = \frac{2}{3}OB\).

d) Xét ∆ANO và ∆MNO, có:

AN = MN (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);

NO là cạnh chung;

AO = OM (O là trung điểm AM).

Do đó ∆ANO = ∆MNO (c.c.c).

Suy ra \(\widehat {AON} = \widehat {MON}\) (cặp góc tương ứng).

Mà \[\widehat {AON} + \widehat {MON} = 180^\circ \] (hai góc kề bù).

Do đó \(\widehat {AON} = \widehat {MON} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {OME} = \widehat {MEN} = 90^\circ \).

Vì vậy tứ giác ONEM là hình chữ nhật.

Ta có E là hình chiếu của N lên BC.

Suy ra NE ⊥ MC.

Xét ∆MNE và ∆CNE, có:

NE là cạnh chung;

MN = NC (do AMCD là hình chữ nhật có N là giao điểm của hai đường chéo);

\(\widehat {NEM} = \widehat {NEC} = 90^\circ \).

Do đó ∆MNE = ∆CNE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra ME = CE (cặp cạnh tương ứng).

Vì vậy E là trung điểm MC.

Do đó \(ME = \frac{1}{2}MC\).

Để tứ giác ONEM là hình vuông thì cần thêm điều kiện OM = ME.

Suy ra \(\frac{1}{2}AM = \frac{1}{2}MC\).

Do đó AM = MC = BM.

Vì vậy ∆ABC vuông cân tại A (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Vậy tam giác ABC cân ban đầu cần thêm điều kiện \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) để tứ giác ONEM là hình vuông.