a) Vì OM = OA = R nên tam giác OAM cân tại O.

Suy ra \(\widehat {AOM} = 180^\circ - 2.\widehat {OAM}\).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {AO'N} = 180^\circ - 2.\widehat {O'AN}\).

Ta có \(\widehat {OAM} + \widehat {MAN} + \widehat {NAO'} = 180^\circ \) (kề bù).

Suy ra \(\widehat {OAM} + \widehat {NAO'} = 180^\circ - \widehat {MAN} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {AO'N} = 180^\circ - 2.\widehat {OAM} + 180^\circ - 2.\widehat {O'AN}\).

\( = 360^\circ - 2.\left( {\widehat {OAM} + \widehat {O'AN}} \right) = 360^\circ - 2.90^\circ = 180^\circ \).

Mà hai góc \(\widehat {AOM},\widehat {AO'N}\) ở vị trí trong cùng phía.

Vậy OM // O’N.

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên O’N.

Vì OM // O’N nên tứ giác OMNO’ là hình thang.

Suy ra \({S_{OMNO'}} = \frac{{OH.\left( {OM + O'N} \right)}}{2} = \frac{{OH.\left( {R + R'} \right)}}{2}\).

\[ \le \frac{{OO'.\left( {R + R'} \right)}}{2} = \frac{{\left( {R + R'} \right).\left( {R + R'} \right)}}{2} = \frac{{{{\left( {R + R'} \right)}^2}}}{2}\].

Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ O’ hay OO’ ⊥ O’N, OO’ ⊥ OM.

Khi đó \(\widehat {AOM} = 90^\circ \). Suy ra \(\widehat {OAM} = 45^\circ \).

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {O'AN} = 45^\circ \).

Vậy M ở vị trí sao cho tam giác OAM vuông cân tại O, N ở vị trí sao cho tam giác O’AN vuông cân tại O’ thì diện tích tứ giác OMNO’ lớn nhất.