Lời giải:

a) Giả sử (u_n) là cấp số cộng với công sai d. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u_k – d và u_{k + 1} = u_k + d.

Suy ra u_{k – 1} + u_{k + 1} = (u_k – d) + (u_k + d) = 2u_k hay \({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) (đpcm).

b) Giả sử cấp số nhân có công bội là q. Khi đó với k ≥ 2, ta có:

u_{k – 1} = u₁ . q^{k – 1 – 1} = u₁ . q^{k – 2};

u_{k + 1} = u₁ . q^{k + 1 – 1} = u₁ . q^k.

Suy ra u_{k – 1} . u_{k + 1} = (u₁ . q^{k – 2}) . (u₁ . q^k) = \(u_1^2.{q^{k - 2 + k}} = u_1^2.{q^{2k - 2}}\) = (u₁ . q^{k – 1})² = \(u_k^2\) (đpcm).