Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O, gọi A và B là hai đường thẳng bất kì đi qua O, đường thẳng A và B lần lượt cắt AB tại E và F, đường thẳng A và B lần lượt cắt CD tại I và K

Để chứng minh rằng \( EF = IK \) trong hình bình hành \( ABCD \) khi các đường thẳng \( A \) và \( B \) cắt \( AB \) tại \( E \) và \( F \), cũng như cắt \( CD \) tại \( I \) và \( K \), ta có thể sử dụng các tính chất của hình bình hành và tỷ lệ các đoạn thẳng.

### Các bước chứng minh:

1. **Tính chất đối diện của hình bình hành**: Trong hình bình hành \( ABCD \), các cạnh đối diện bằng nhau: \( AB = CD \) và \( AD = BC \).

2. **Tính chất của các đường chéo**: Các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( O \) chia mỗi đường chéo thành hai phần bằng nhau, tức là:
- \( AO = OC \) và \( BO = OD \).

3. **Hệ trục tọa độ**:
- Gán tọa độ cho các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, h) \)
- \( D(b, h) \)
Trong đó \( a, b, h \) là các tham số bất kỳ.

4. **Tính tính chất đồng dạng**:
- Vì \( EF \) và \( IK \) đều nằm trên hai đường thẳng song song và cắt một cặp đường thẳng khác tại các điểm \( E, F \) trên \( AB \) và \( I, K \) trên \( CD \).
- Do đó, hai tam giác \( OEF \) và \( OIK \) sẽ là hai tam giác đồng dạng (có các góc tương ứng bằng nhau).

5. **Sử dụng tỷ lệ đoạn thẳng**:
- Từ tính chất đồng dạng, ta có:
\[
\frac{EF}{AB} = \frac{IK}{CD}
\]
Mà vì \( AB = CD \) trong hình bình hành:
\[
EF = IK
\]
Do đó, ta suy ra rằng \( EF = IK \).

### Vẽ hình:

```
D -----C
| /|
| / |
| / |
| / |
| / |
|/ |
A-------B
```

Trong hình minh họa trên, đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( O \). Các đường thẳng \( A \) và \( B \) được vẽ để cắt \( AB \) tại \( E \) và \( F \), cũng như \( CD \) tại \( I \) và \( K \).

### Kết luận:

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng \( EF = IK \) trong hình bình hành \( ABCD \) dựa trên các tính chất hình học và sự đồng dạng của các tam giác được tạo thành.