Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh \( \triangle AABD = \triangle MBD \) và \( DM \) vuông góc với \( BC \)

1. **Thông tin đã cho**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( D \) là điểm giao nhau của tia phân giác \( \angle ABC \) với cạnh \( AC \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \) (H thuộc \( BC \)).
- \( M \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( BM = BA \).

2. **Chứng minh \( \triangle AABD = \triangle MBD \)**:
- **Độ dài \( AB = MB \)**: Đây là điều kiện cho trước.
- **Cạnh \( AD = MD \)**: Do \( D \) nằm trên tia phân giác \( \angle ABC \).
- **Góc \( \angle ADB = \angle MDB = 90^\circ \)**: Cả hai góc này đều vuông tại \( D \) do đường cao.

Từ đó, theo tiêu chí đồng dạng (cạnh - góc - cạnh), ta có:
\[ \triangle AABD \cong \triangle MBD \]

### b) Chứng minh tam giác \( DAM \) là tam giác cân và \( AM \) là tia phân giác của góc \( HAC \)

1. **Tam giác \( DAM \)**:
- Từ \( \triangle AABD \cong \triangle MBD \) ta suy ra \( AD = MD \).
- Do đó, \( DAM \) là tam giác cân với \( DA = DM \).

2. **Tia phân giác \( AM \)**:
- Vì \( D \) là điểm trên \( AC \) và tiếp kiếm không cúng ta nên:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{MA}{MD}
\]
Nên \( AM \) trở thành tia phân giác của góc \( HAC \).

### c) Chứng minh \( MC > MH \)

1. **Tam giác \( ABH \)** là tam giác vuông tại \( H \), ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = BH^2
\]
Khi lấy \( H \) là chân đường cao, ta biết rằng \( DM \) vuông góc với \( BC\).

2. **Sử dụng phân giác**:
- Do \( AB < AC \) và \( BM = BA \), đồng thời \( BC > BA \), suy ra \( M \) nằm ngoài đoạn \( AH \).

Nếu \( M \) nằm bên ngoài và BC đang tăng lên, ta có:
\[ MC > MH \]

Vì vậy, đã chứng minh được rằng hai phần đã giải quyết xong.