Để chứng minh rằng trong tam giác \( I D E \) cân tại \( I \), \( I A \) vừa là đường phân giác vừa là đường cao, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác đều và tam giác cân.

**a. Tam giác \( I D E \) cân:**

1. Vì tam giác \( I D E \) là tam giác cân tại \( I \), nên \( ID = IE \).
2. Đường thẳng \( I A \) là đường phân giác của góc \( D I E \), do đó nó chia góc \( D I E \) thành hai góc bằng nhau.
3. Ta có \( A \) là điểm trên cạnh \( D E \). Do \( A \) thuộc đường phân giác, theo định lý đường phân giác, tỷ số độ dài hai cạnh \( D A \) và \( E A \) là bằng tỷ lệ độ dài hai cạnh còn lại \( I D \) và \( I E \). Từ đó ta có:
\[
\frac{D A}{E A} = \frac{I D}{I E} = 1
\]
Điều này cho thấy \( D A = E A \), chứng tỏ rằng điểm \( A \) là trung điểm của \( D E \).

4. Do đó, tam giác \( I D E \) là tam giác cân tại \( I \) và \( A \) là trung điểm của \( D E \).

**b. \( I A \) là trung tuyến:**

1. Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( D E \) (có nghĩa là \( M \) và \( A \) trùng nhau vì đã chứng minh \( A \) là trung điểm).
2. Vì đã chứng minh \( D A = E A \) và \( A \) nằm trên cạnh \( D E \), điều này chứng tỏ rằng \( I A \) là trung tuyến từ đỉnh \( I \) đến cạnh \( D E \).

Vậy, ta có thể khẳng định:
1. Tam giác \( I D E \) là tam giác cân tại \( I \).
2. Đoạn thẳng \( I A \) là trung tuyến.

Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán.

### Kết luận:
- **(a):** Tam giác \( I D E \) là tam giác cân.
- **(b):** \( I A \) là trung tuyến.