Để chứng minh rằng \( A + DHE = 18^\circ \) trong tam giác \( ABC \) với các đoạn thẳng vuông góc như đã mô tả, ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác và các góc.

1. **Xác định góc BHC**:
Bởi vì \( BD \) vuông góc với \( AC \) tại \( D \) và \( CE \) vuông góc với \( AB \) tại \( E \), ta có:
\[
\angle BDA = \angle CEB = 90^\circ
\]

2. **Phân tích góc A**:
Xét tứ giác \( ABCE \):
- Tổng các góc trong tứ giác này bằng \( 360^\circ \).
- Ta có:
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle DBC + \angle CEB = 360^\circ
\]
Trong đó, \( \angle DBC = \angle C \) và \( \angle CEB = \angle B \).

3. **Sử dụng định lý góc ngoài**:
Ta có góc ngoài \( DHE \) của tam giác \( DAB \):
\[
DHE = A + B
\]

4. **Chứng minh tính chất góc**:
Góc \( DHE \) có thể được tìm bằng cách sử dụng các góc bổ sung:
\[
DHE = 180^\circ - (90^\circ - A) - (90^\circ - B) = A + B
\]

5. **Kết hợp các góc**:
Như vậy, ta thấy tổng \( A + DHE = A + (A + B) = 180^\circ \).

6. **Rút ra kết luận**:
Từ phân tích trên, ta biết được rằng:
\[
DHE = 90^\circ - C
\]
và \( A + DHE = A + (90^\circ - C) = 18^\circ \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( A + DHE = 18^\circ \).