Tính

Để giải bài toán này, ta có biểu thức như sau:

\[
\frac{a^3}{a^2 + b} + \frac{b^3}{b^2 + c} + \frac{c^3}{c^2 + a} = \frac{2}{3}
\]

với điều kiện \( a + b + c = 3 \).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc áp dụng các kỹ thuật bất đẳng thức khác sẽ là một cách tiếp cận tốt.

Dựa theo bất đẳng thức Cauchy, có thể viết như sau:

\[
\frac{a^3}{a^2 + b} \geq \frac{a^2}{2}, \quad \frac{b^3}{b^2 + c} \geq \frac{b^2}{2}, \quad \frac{c^3}{c^2 + a} \geq \frac{c^2}{2}
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{a^3}{a^2 + b} + \frac{b^3}{b^2 + c} + \frac{c^3}{c^2 + a} \geq \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Khi đó, nếu \( a + b + c = 3 \), ta có \( a^2 + b^2 + c^2 \geq 3 \), suy ra:

\[
\frac{a^3}{a^2 + b} + \frac{b^3}{b^2 + c} + \frac{c^3}{c^2 + a} \geq \frac{3}{2}
\]

Tuy nhiên, để \( \frac{2}{3} \) đạt được, ta cần kiểm tra viên cảnh lại giá trị của \(a, b, c\). Kết luận lại giá trị

Ta cũng có thể cho \( a = b = c = 1 \) (vì \(a + b + c = 3\)):

\[
\frac{1^3}{1^2 + 1} + \frac{1^3}{1^2 + 1} + \frac{1^3}{1^2 + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

Do đó, ta có giá trị cần tìm:

\[
\frac{3}{2}
\]

Vì vậy, đáp án là \( \frac{3}{2} \).