Để giải phương trình sau:

\[
\frac{x}{2(x-3)} + \frac{x}{2x+2} = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}
\]

**Bước 1: Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của mẫu số**

Mẫu số bên trái là \( 2(x-3) \) và \( 2x + 2 \) (có thể viết lại là \( 2(x + 1) \)).
BCNN sẽ là \( 2(x-3)(x+1) \).

**Bước 2: Đưa các phân số về cùng mẫu số**

Đặt tất cả về mẫu số \( 2(x-3)(x+1) \):

\[
\frac{x(x+1)}{2(x-3)(x+1)} + \frac{x(x-3)}{2(x+1)(x-3)} = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}
\]

**Bước 3: Gộp các phân số bên trái**

\[
\frac{x(x+1) + x(x-3)}{2(x-3)(x+1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}
\]

**Bước 4: Tính toán tử số bên trái**

\[
x(x+1) + x(x-3) = x^2 + x + x^2 - 3x = 2x^2 - 2x
\]

Thay vào bên trái:

\[
\frac{2x^2 - 2x}{2(x-3)(x+1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}
\]

**Bước 5: Rút gọn phương trình**

Đơn giản hóa bên trái:

\[
\frac{2(x^2 - x)}{2(x-3)(x+1)} = \frac{x^2 - x}{(x-3)(x+1)}
\]

**Bước 6: Đặt phương trình**

Bây giờ ta có:

\[
\frac{x^2 - x}{(x-3)(x+1)} = \frac{2x}{(x+1)(x-3)}
\]

**Bước 7: Nhân chéo**

Nhân chéo hai vế được:

\[
(x^2 - x) \cdot (x + 1)(x - 3) = 2x \cdot (x - 3)(x + 1)
\]

**Bước 8: Giải phương trình**

Rút gọn cả hai phía, ta có:

\[
x^2 - x = 2x
\]

Làm gọn phương trình:

\[
x^2 - 3x = 0
\]

**Bước 9: Phân tích ra thừa số**

\[
x(x - 3) = 0
\]

Vậy nghiệm là:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3
\]

**Bước 10: Kiểm tra điều kiện**

Điều kiện không làm mẫu số bằng 0. Với \( x = 3 \), mẫu số sẽ bằng 0. Nên nghiệm hợp lệ là:

\[
\boxed{0}
\]