Cho tứ giác ABCD có 4 đỉnh thuộc ( O) . M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Đường thẳng qua M vuông góc với CD cắt đường thẳng qua P vuông góc với AB tại K. Chứng minh: KN vuông góc với DA và KQ vuông góc với BC

Để chứng minh điều cần chứng minh trong bài toán, trước hết ta sẽ giải thích lại một số kí hiệu và tính chất của hình học trong tứ giác ABCD.

1. **Giả Thiết**:
- Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn (O).
- M, N, P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA tương ứng.

2. **Các Đường Thẳng Vuông Góc**:
- Đường thẳng qua M vuông góc với CD.
- Đường thẳng qua P vuông góc với AB.

3. **Điểm K**:
- K là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Từ đây, ta cần chỉ ra rằng:
- KN vuông góc với DA
- KQ vuông góc với BC

### Chứng Minh

**Bước 1**: Nhắc lại các tính chất của tứ giác nội tiếp. Trong tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), các cặp góc đối diện của tứ giác đáp ứng điều kiện sau:

\[
\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ
\]
\[
\angle BCD + \angle DAB = 180^\circ
\]

**Bước 2**: Sử dụng các góc vuông:
- Do KM ⊥ CD và KP ⊥ AB, suy ra góc MKP là góc vuông.

**Bước 3**: Chứng minh KN vuông góc với DA. Ta có:
- Vì N là trung điểm của BC, theo định lý Thales, ta có:
\[
\angle KNA = \angle ABC \quad (1)
\]
- Từ (1) và tính chất góc trong tứ giác nội tiếp:
\[
\angle KNA + \angle DAB = 180^\circ \implies \angle KNA + \angle NDA = 90^\circ \quad
\]
- Suy ra, KN vuông góc với DA.

**Bước 4**: Chứng minh KQ vuông góc với BC. Tương tự như KN:
- Vì Q là trung điểm của DA, ta có:
\[
\angle KQB = \angle DAB \quad (2)
\]
- Từ (2) cộng với các góc đối diện trong tứ giác nội tiếp, ta có:
\[
\angle KQB + \angle ABC = 180^\circ \implies \angle KQB + \angle NBP = 90^\circ \quad
\]
- Suy ra, KQ vuông góc với BC.

### Kết Luận
Vậy chúng ta đã chứng minh được:
- KN vuông góc với DA
- KQ vuông góc với BC

Đây là những kết quả mà bài toán yêu cầu.