Cho a là số thực thỏa mãn. Tính giá trị biểu thức A

Để tính biểu thức \( A = (a^3 + a^2) + \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^2} \right) \), trước tiên chúng ta cần tìm giá trị của \( a \) từ phương trình \( a + \frac{1}{a} = 3 \).

1. **Giải phương trình**:
Đặt \( x = a \). Ta có:
\[
x + \frac{1}{x} = 3
\]
Nhân cả hai vế với \( x \) (với điều kiện \( x \neq 0 \)):
\[
x^2 - 3x + 1 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
\]
Vì vậy, các giá trị của \( a \) là:
\[
a_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad a_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}
\]

2. **Tính \( a^2 \) và \( a^3 \)**:
\[
a^2 = (x^2) = \left( \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \right)^2 = \frac{(3 \pm \sqrt{5})^2}{4} = \frac{9 \pm 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 \pm 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}
\]
Từ đó, sử dụng \( a + \frac{1}{a} = 3 \):
\[
\frac{1}{a} = 3 - a
\]
Tính \( \frac{1}{a^2} = \frac{1}{(3 - a)^2} \).

3. **Tính \( A \)**:
Đầu tiên, xác định \( a^3 \):
\[
a^3 = a \cdot a^2 = a \left( \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2} \right)
\]
Sử dụng lại phương trình \( a + \frac{1}{a} = 3 \) để tìm giá trị của tất cả các phần trong biểu thức \( A \).

Cuối cùng, \( A \) sẽ bằng:
\[
A = (a^3 + a^2) + \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^2} \right)
\]
Cụ thể, kết quả cuối cùng sẽ là:
\[
A = 7
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \( A \) là \( 7 \).