Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có biểu thức đã cho:

\[
P = \left( \frac{3}{\sqrt{x+1}} - \frac{\sqrt{x-5}}{x - \sqrt{x-2}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{x-2}}
\]

**Bước 1**: Xác định điều kiện xác định của biểu thức:

- \( x > 0 \)
- \( x \neq 4 \)
- \( x - 5 \geq 0 \) (hay \( x \geq 5 \))
- \( x - 2 \geq 0 \) (hay \( x \geq 2 \))

Do đó, điều kiện xác định của \( x \) là \( x \geq 5 \).

**Bước 2**: Rút gọn từng phần trong biểu thức.

\[
\frac{3}{\sqrt{x+1}} - \frac{\sqrt{x-5}}{x - \sqrt{x-2}}
\]

Để thực hiện phép trừ, ta cần đưa về cùng mẫu:

Mẫu chung là \(\sqrt{x+1}(x - \sqrt{x-2})\). Ta sẽ làm như sau:

- Phần thứ nhất: \( \frac{3(x - \sqrt{x-2})}{\sqrt{x+1}(x - \sqrt{x-2})} \)
- Phần thứ hai: \( \frac{\sqrt{x-5}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}(x - \sqrt{x-2})} \)

Vậy ta có:

\[
P = \frac{3(x - \sqrt{x-2}) - \sqrt{x-5}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}(x - \sqrt{x-2})} \cdot \frac{1}{\sqrt{x-2}}
\]

**Bước 3**: Rút gọn.

Sau khi thực hiện phép trừ, ta cần ghi chú và tìm cách đơn giản hóa nó. Những biểu thức phức tạp có thể được rút gọn thêm bằng cách tìm nhân tử chung, bình phương hai vế hay biến đổi tương tự để đơn giản hóa biểu thức hơn nữa.

Cuối cùng, đảm bảo kiểm tra và xác định các điều kiện xác định để đảm bảo biểu thức rút gọn là hợp lệ trong miền xác định.

Tất cả các bước xử lý này sẽ dẫn đến biểu thức đã rút gọn.

Nếu bạn cần thêm trợ giúp cụ thể cho một phần nào của quá trình, hãy cho tôi biết!