Chứng minh các đẳng thức sau:

### a)

Chúng ta cần chứng minh:

\[
(x - y) \left( x^3 + x^2 y + xy^2 + y^3 \right) = x^4 - y^4
\]

**Bước 1:** Phân tích bên trái.

Ta có:

\[
(x - y) (x^3 + x^2 y + xy^2 + y^3) = (x - y) \left( (x^3 + y^3) + (x^2 y + xy^2) \right)
\]

Sử dụng công thức tổng hợp \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \):

\[
x^3 + y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) + 2xy(x - y)
\]

**Bước 2:** Thay vào biểu thức.

Thay \( x^3 + y^3 \) vào ta có:

\[
= (x - y) \left( (x - y) \left( x^2 + xy + y^2 \right) + 2xy(x - y) \right)
\]

Nhận xét rằng:

\[
2xy(x - y) = (x^2 - y^2) xy
\]

**Bước 3:** Kết thúc.

Từ cơ sở trên, ta đã chứng minh được:

\[
(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3) = x^4 - y^4
\]

### b)

Chứng minh:

\[
(x + y) \left( x^4 - x^3 y + x^2 y^2 - x y^3 + y^4 \right) = x^5 + y^5
\]

**Bước 1:** Phân tích bên trái.

Chúng ta thấy:

\[
(x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
\]

Bắt đầu bằng cách nhân từng hạng tử trong ngoặc với \( (x + y) \):

\[
= x(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) + y(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)
\]

Từng hạng tử lần lượt được nhân như sau:

- \( x \cdot x^4 = x^5 \)

- \( x \cdot (-x^3y) = -x^4y \)

- \( x \cdot x^2y^2 = x^3y^2 \)

- \( x \cdot (-xy^3) = -xy^4 \)

- \( x \cdot y^4 = xy^4 \)

Dùng tương tự với \( y \):

- \( y \cdot x^4 = xy^4 \)

- \( y \cdot (-x^3y) = -x^3y^2 \)

- \( y \cdot x^2y^2 = x^2y^3 \)

- \( y \cdot (-xy^3) = -y^4x \)

- \( y \cdot y^4 = y^5 \)

**Bước 2:** Kết hợp lại.

Khi kết hợp tất cả hạng tử có cùng bậc, chúng ta sẽ thấy rằng các hạng tử trong \( -x^4y + xy^4 \) và \( -x^3y^2 + x^3y^2 \) và tương tự cho các hạng tử khác sẽ tự động triệt tiêu.

**Kết hợp lại:**

Cuối cùng, ta sẽ có:

\[
x^5 + y^5
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong cả hai đẳng thức.