Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a, b và c.

### a) Viết phương trình đường thẳng AB

Điểm A có tọa độ \( A(2, 1) \) và điểm B có tọa độ \( B(-1, -2) \).

1. **Tìm hệ số góc (m)**:

\[
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 1}{-1 - 2} = \frac{-3}{-3} = 1
\]

2. **Viết phương trình đường thẳng AB theo dạng điểm và hệ số góc**:

Sử dụng điểm A(2, 1):
\[
y - y_A = m(x - x_A) \Rightarrow y - 1 = 1(x - 2)
\]

Rút gọn:
\[
y - 1 = x - 2 \Rightarrow y = x - 1
\]

### b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

Điểm C có tọa độ \( C(0, -1) \).

Chúng ta sẽ kiểm tra xem điểm C có nằm trên đường thẳng AB hay không. Để kiểm tra, thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng AB \( y = x - 1 \):

\[
y_C = -1 \quad \text{và} \quad x_C = 0.
\]

Tính:
\[
y_C = 0 - 1 = -1.
\]

Vì \( y_C = -1 \) thỏa mãn phương trình đường thẳng, do đó A, B, C thẳng hàng.

### c) Tìm a và b để lý thuyết có thể mở rộng

Giả sử đường thẳng AB có dạng \( y = ax + b \).

Từ phương trình chúng ta đã tìm được:
- \( a = 1 \)
- \( b = -1 \)

Vậy ta có thể kết luận rằng:
- Điểm B và C cũng thỏa mãn điều kiện này khi thay đổi các giá trị trong phương trình.

Kết luận: Điểm A, B, C thẳng hàng và phương trình đường thẳng AB là \( y = x - 1 \).