Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều, ta cần xác định diện tích đáy và chiều cao của nó.

1. **Tính diện tích đáy:**
- Chu vi mặt đáy hình chóp tứ giác đều là \(48 \, cm\).
- Gọi cạnh của hình vuông đáy là \(a\), ta có:
\[
4a = 48 \implies a = 12 \, cm
\]
- Diện tích đáy của hình chóp:
\[
S_{đáy} = a^2 = 12^2 = 144 \, cm^2
\]

2. **Tính chiều cao mặt bên:**
- Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:
\[
S_{xq} = \frac{4}{2} \times a \times h_{mb} = 2ah_{mb}
\]
- Với \(S_{xq} = 240 \, cm^2\), thay vào công thức ta có:
\[
240 = 2 \times 12 \times h_{mb} \implies 240 = 24h_{mb} \implies h_{mb} = 10 \, cm
\]

3. **Tính chiều cao của hình chóp:**
- Theo đề bài, chiều cao của hình chóp \(h\) bằng \(\frac{4}{5}\) chiều cao của mặt bên:
\[
h = \frac{4}{5}h_{mb} = \frac{4}{5} \times 10 = 8 \, cm
\]

4. **Tính thể tích của hình chóp:**
- Công thức tính thể tích hình chóp là:
\[
V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h
\]
- Thay các giá trị đã tính vào công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \times 144 \times 8 = \frac{1152}{3} = 384 \, cm^3
\]

**Kết luận:** Thể tích của hình chóp là \(384 \, cm^3\).