Để rút gọn biểu thức \((x - 2y)^3 + 6xy(x - 2y) - x^3\), chúng ta có thể thay thế \(u = x - 2y\). Khi đó, biểu thức trở thành:

\[
u^3 + 6xyu - x^3
\]

Chúng ta cần biểu diễn \(6xyu\) và \(x^3\) bằng \(u\). Từ \(u = x - 2y\), ta có \(x = u + 2y\). Thay thế vào các phần trong biểu thức:

- Tính \(x^3\):
\[
x^3 = (u + 2y)^3 = u^3 + 3(u^2)(2y) + 3(u)(2y)^2 + (2y)^3 = u^3 + 6yu^2 + 12y^2u + 8y^3
\]

- Tính \(6xy\):
\[
6xy = 6(u + 2y)y = 6uy + 12y^2
\]

Thay các giá trị đó vào biểu thức:

\[
u^3 + 6(uy + 2y^2)u - (u^3 + 6yu^2 + 12y^2u + 8y^3)
\]

Tiến hành đơn giản hóa:

1. Hãy phân tích:
\[
u^3 + 6(uy + 2y^2)u = u^3 + 6uy^2 + 12y^2u
\]
Thay thế vào biểu thức:

\[
u^3 + 6uy + 12y^2u - (u^3 + 6yu^2 + 12y^2u + 8y^3)
\]

2. Biểu thức còn lại:
\[
u^3 + 6uy + 12y^2u - u^3 - 6yu^2 - 12y^2u - 8y^3
\]

3. Tới đây, \(u^3\) và \(-u^3\) sẽ triệt tiêu, \(12y^2u\) và \(-12y^2u\) cũng triệt tiêu:

\[
= 6uy - 6yu^2 - 8y^3
\]

Cuối cùng, gộp lại:

\[
= 6y(u - u^2) - 8y^3
\]

Thay lại \(u\):

\[
= 6y((x - 2y) - (x - 2y)^2) - 8y^3
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
(x - 2y)^3 + 6xy(x - 2y) - x^3 = - (x - 2y)^2(6y + (x - 2y))
\]

Biểu thức đã rút gọn hoàn thiện.