Để giải bất phương trình \( \frac{x}{x-2} + \frac{x+2}{x} > 2 \), chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Đưa về dạng chung
Trước tiên, ta cần quy đồng mẫu cho hai phân thức trong bất phương trình.

Bất phương trình có dạng:
\[
\frac{x}{x-2} + \frac{x+2}{x} - 2 > 0
\]

### Bước 2: Quy đồng mẫu
Mẫu chung của \( \frac{x}{x-2} \) và \( \frac{x+2}{x} \) là \( x(x-2) \).
Ta sẽ viết lại các phân thức:

\[
\frac{x^2}{x(x-2)} + \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)} - \frac{2x(x-2)}{x(x-2)} > 0
\]
\[
\frac{x^2 + (x^2 - 2x + 2x - 4) - (2x^2 - 4x)}{x(x-2)} > 0
\]
\[
\frac{(x^2 + x^2 - 2x + 2x - 4 - 2x^2 + 4x)}{x(x-2)} > 0
\]
\[
\frac{(0x^2 + 4x - 4)}{x(x-2)} > 0
\]
\[
\frac{4x - 4}{x(x-2)} > 0
\]
\[
\frac{4(x - 1)}{x(x-2)} > 0
\]

### Bước 3: Xét dấu của biểu thức
Để giải bất phương trình \( \frac{4(x - 1)}{x(x-2)} > 0 \), ta cần tìm các điểm nghiệm và xét khoảng dấu.

Căn cứ vào tử số và mẫu số:

- Tử số \( 4(x - 1) = 0 \) khi \( x = 1 \)
- Mẫu số \( x(x - 2) = 0 \) khi \( x = 0 \) và \( x = 2 \)

Các điểm cần xét: \( x = 0, 1, 2 \).

### Bước 4: Vẽ biểu đồ dấu
Chia trục số thành các khoảng:
1. \( (-\infty, 0) \)
2. \( (0, 1) \)
3. \( (1, 2) \)
4. \( (2, +\infty) \)

- Khi \( x < 0 \): \( x < 1 \), dấu số dương. ➔ \( > 0 \)
- Khi \( 0 < x < 1 \): \( 4(x - 1) < 0 \) và \( x(x - 2) < 0 \) ➔ \( < 0 \)
- Khi \( 1 < x < 2 \): \( 4(x - 1) > 0 \) và \( x(x - 2) < 0 \) ➔ \( < 0 \)
- Khi \( x > 2 \): \( 4(x - 1) > 0 \) và \( x(x - 2) > 0 \) ➔ \( > 0 \)

### Bước 5: Kết luận
Biểu thức \( \frac{4(x - 1)}{x(x - 2)} > 0 \) xảy ra ở các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (2, +\infty) \).

Cuối cùng, ta có tập nghiệm của bất phương trình:
\[
x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)
\]

### Lưu ý:
- Ở \( x = 0 \) và \( x = 2 \), biểu thức không xác định.
- \( x = 1 \) là nghiệm trong \( \frac{4(x - 1)}{x(x-2)} > 0 \).